[Beatmania]

โทษทีครับ ติดงานที่มหาลัย ;_; อาจจะง่ายกว่าวันแรกครับ 555

Day 2 Hell's Edition

6. ให้ $p,q,r$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันและ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ของจำนวนนับที่ทำให้ $px^p = qy^q + rz^r$. จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตอนันต์

7. มีสี $25$ สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต $S=\{1,2,...,2561\}$ ต้วละหนึ่งสี โดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี

ให้ $m$ คือจำนวนสับเซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนคู่โดยไม่ใช่เซตว่างของ $S$ ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด

จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $m$

8. ให้ $k$ เป็นจำนวนนับ สลากกินแบ่ง $2n+1$ ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน

โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากกินแบ่งทุกใบมีค่ามากกว่า $x$

แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากกินแบ่ง $k$ ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน $\frac{kx}{2n}$

จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ ในรูปของ $x,n$

9. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $AB$ ที่จุด $D$ และ $AC$ ที่ $E$

ให้ $P$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ไม่ใช่จุด $B, C$

ให้ $K, L$ เป็น incenter ของ $\Delta ABP, \Delta ACP$ ตามลำดับ

ถ้าวงกลมล้อมรอบรูป $\Delta KPL$ ตัด $AP$ อีกครั้งที่ $Q$

ให้ $\Gamma$ เป็นวงกลมล้อมรอบ $QED$

จงแสดงว่า $\Gamma$ และวงกลมล้อมรอบ $KPL$ สัมผัสกัน ก็ต่อเมื่อ วงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม $ ABP,ACP$ มีรัศมีเท่ากัน

10. เหมือนเดิมครับ มันยากอยู่แล้ว (หมดไอเดียในการทำให้ยากละครับ 55555)