อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow
1. $\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}=\sqrt{8}\cdot \sqrt{12345}$
แล้วจงหาค่าของ $(\frac{2a-b}{a-b})^2+(\frac{2b-c}{b-c})^2+(\frac{2c-a}{c-a})^2$
|
สมมุติให้
$\ \frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}=\sqrt{8}\cdot \sqrt{12345} = K$ และ
$\ \frac{a}{a-b} = x$, $\ \frac{b}{b-c} = y$, $\ \frac{c}{c-a}= z$
จัดรูปแต่ละสมการใหม่ได้ $\ \frac{a}{b} = \frac {x}{x-1}$, $\ \frac{b}{c} = \frac {y}{y-1}$, $\ \frac{c}{a} = \frac {z}{z-1}$ เอาทั้งสามสมการมาคูณกันได้ $\ 1 = \frac {x}{x-1}\cdot \frac {y}{y-1} \cdot \frac{z}{z-1} $
เมื่อกระจายจะได้รูปสมการใหม่เป็น $(xy+yz+zx) = (x+y+z)-1 = K - 1$ ------ (1)
จากสมการตั้งต้น เขียนในรูป x,y,z ใหม่ได้เป็น $(x+y+z) = K$,
ยกกำลังสองได้ $k^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2+2(K-1)$
จัดรูปสมการใหม่ได้ $x^2+y^2+z^2 = K^2 - 2K + 2$ -------(2)
เริ่มทำโจทย์ได้แล้วครับ
$\ \begin{array}{rcl} \frac{2a-b}{a-b})^2+(\frac{2b-c}{b-c})^2+(\frac{2c-a}{c-a})^2 & = & (1+\frac{a}{a-b})^2+(1+\frac{b}{b-c})^2+(1+\frac{c}{c-a})^2 \\ & = & (1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2 \\ & = & 3+2(x+y+z)+(x^2+y^2+z^2) \\ & = & 3+2(K)+(K^2-2K+2) \\ & = & K^2+5\ <-- โดยที่ K = \sqrt{8}\cdot \sqrt{12345} \end{array}$
ที่เหลือคงจะทำได้ไม่ยากนะครับ 