อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า
1.The incircle of$ \Delta ABC$ touches$ BC at D,$ and the excircle opposite to $B$ touches $BC$ at $E$. Suppose that $AD=AE$. Prove that$ 2 \angle C-\angle B=180 degrees.$
2.จงหาค่าของ $\binom{3n}{0} +\binom{3n}{3} +...+\binom{3n}{3n} $
3.Let$ ABC$ be an acute angled triangle and let H be its orthocenter.Let $h_{max}$ denote the largest altitude of the triangle$ ABC$.
Prove that $AH + BH + CH \leqslant2h_{max}$.
4.ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน และ $AC$ ตัด $BD$ ที่ E แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป ให้ $G_1,G_2$ เป็นจุด centroid ของสามเหลี่ยม $ABE$ และ $CDE$ และ $H_1,H_2$ เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม $ADE$ กับ $BCE$ พิสูจน์ว่า $G_1G_2 \bot H_1H_2$
5.จงหาสี่สิ่งอันดับที่ไม่เป็นลบทั้งหมดที่ทำให้ $7^a=6^b+5^c+4^d$
6.ให้ a,b,c เป็นจำนนวนเต็มที่สอดคล้องสมการ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3 $ จงหา $(a,b,c)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้
7.จงหาค่า $x\in \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=\frac{9}{2}$
8.let$\Delta ABC$,$H$ the Orthocenter and $M$ the midpoint of $AC$. Let $L$ be the line through$M$ Parallel to the bisector of $\angle AHC$. Prove that $L$ divides the triangle in two parts of equal Perimeter.
9.กำหนด $M$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า $ABC$ ถ้า $P,Q,R,T,G$ เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม $MBC, MAC, MAB, PQR, ABC$ ตามลำดับ พิสูจน์ $M,T,G collinear$(ขอแบบไม่ใช้Homothety)
10. ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$
และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$
11.จงพิสูจน์ว่าในบรรดาจำนวนเต็มใดๆ52จำนวนจะต้องมี2จำนวนที่ผลต่างกำลังสองของทั้ง2จำนวนหารด้วย100ลงตัว
|
1. งงโจทย์ excircle opposite to $B$ touches $BC$ มันไม่ได้สัมผัสนะ
$= \dfrac{(1+1)^{3n}+(1+cis \dfrac{\pi}{3})^{3n}+(1+cis \dfrac{2\pi}{3})^{3n}}{3}$
$= \dfrac{8^n+2(-1)^n}{3}$
3. พิสูจน์ว่า $AH\cdot BC + BH \cdot CA + CH \cdot AB = 4[ABC]$ ; วาดวงกลมล้อมรอบ
6. AM-GM
7. bound ค่า
9. ถ้า $D,E,F$ เป็นจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามของ $\triangle ABC$ จะเห็นว่า $\triangle PQR$ เกิดจากการย่อ $\triangle DEF$ โดยมีศูนย์กลางเป็น $M$ แล้วก็ค่อยๆไล่สามเหลี่ยมคล้ายเลยครับ
10. $AQ//BC$
11. อีกวิธีนะครับ ลองใช้เอกลักษณ์ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ดู