ตอนที่ 1 ข้อ 1-10 ข้อละ 2 คะแนน
1.กำหนด $[(p\rightarrow q) \land(p \lor s)] \rightarrow (r \rightarrow s)$ เป็นรูปแบบของประพจน์ จงหาว่าจำนวนผลคูณระหว่างค่าความจริงที่เป็นจริง
และค่าความจริงที่เป็นเท็จของรูปแบบประพจน์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเท่าใด
2. กำหนดให้ $ g(x)=\frac{x+1}{x}$ และ $x \ne 0$ ถ้า $(gof)(x)=x$ แล้วจงหาค่าของ $\frac{(g-f^{-1})(2563)}{2563} $
3. กำหนดให้พาราโบลา $y=ax^2+bx+c $ ผ่านจุด $ (0,0),(-1,-3)$ และ $(-2,-4)$
โดยพาราโบลา
ตัดแกน $x$ ที่จุด $p$ และ $q$ ถ้าวงกลม $pq$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และสมการของวงกลมอยู่ในรูป $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ แล้วจงหาค่าของ $k+r-h$
4. ถ้า $(2+i)$ เป็นรากหนึ่งของสมการ $f(x)=2x^3+ax^2+bx+10$ แล้ว $ f(1)+f(-1)$
มีค่าเท่าใด
5. กำหนด$ a_n$ เป็นลำดับเลขคณิต โดยมี $d$ เป็นผลต่างร่วม ซึ่ง $d \ne 0 $ ถ้า$ \sum_{n=100}^{200}=c\sum_{n=100}^{200} (-1)^{n}a_{n}$
จงหาค่าของ $c$
6. จงหาค่าของ $sin^2(\frac{1}{2}arccos(\frac{3}{5})-2arctan(-\frac{1}{2}))$
7. จงหาส่วนจริงของ $\frac{(1+i)^{10}}{1+i}$
ตอนที่ 2 ข้อ 11-30 ข้อละ 4 คะแนน
11. กำหนดให้ $a(x)=x+1 \; , b(x)=x-1\; , c(x)=x^2+1 \; , d(x)=x^2-1 $
ถ้า $aof(x)+bog(x)=2$ และ $cof(x)-dog(x)=4x$ โดยที่ $h(x-1)=x^3-3x^2+3x+10$ และ $h^{-1}(x)=A$ จงหาค่าของ $hogof(A)$
12.วงรีมีแกนเแกเป็นส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายเป็นจุดยอดของกราฟสมการ $16x^2-9y^2+64x+18y-89=0$ และแกนโทยาวเป็นครึ่งหนึ่งของแกนสังยุคของสมการดังกล่าว
13. วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ในจัตุภาคที่ 1 สัมผัสแกน$x$ ที่จุด $(3,0)$และสัมผัสเส้นตรง $4y=3x+36$ ที่จุด $M$ จงหาระยะห่างระหว่าง $M$ กับจุดกำเนิด จงหาค่าของความเยื้องวงกลมนี้
14. ถ้า $a$ เป็นสมาชิกของ $S$ ที่มีค่ามากที่สุด และ $b$ เป็นสมาชิกของ $S$ ที่น้อยที่สุด ซึ่ง
$ S=\Bigg\{x\in R \Bigg\|(2^{\sqrt{{\frac{x}{1-x}}}})({{\frac{1}{2}})^\frac{ 13}{6}}=({\frac{1}{2}})^\sqrt{\frac{1-x}{x}}$ $ \Bigg\} $ จงหาค่าของ $13(a+2b)$
15. จากการสอบถามนักเรียน 100 คน เป็นชาย 60 คน เป็นหญิง 40 คน พบว่ามีนักเรียน 30 คน เล่นฟุตบอล,20คนเล่นบาสเดตบอล,มีนักเรียนชาย 8 คนเล่นฟุตบอล,นักเรียน 6 คนเล่นฟุตบอลและบาสเกตบอล,นักเรียนชาย 12 คนเล่นบาสเกตบอล,นักเรียนชาย 3 คน เล่นทั้ง 2 อย่าง มีนักเรียนที่ไม่เล่นอะไรเลยกี่คน
16. ให้ $A=\{1,a,2,b,3,c\}$ และ $B=\{\ 1,2\}$ จงหาจำนวนสับเซต $S$ ของ $A$ ซึ่ง
$S \cap B \ne \emptyset $
17. กำหนดให้ $m\in{Z}^+$ จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $5$ หาร $ 3^n+6 ลงตัว$
18. ให้จุด $A(\sqrt{2},\sqrt{2})$ และจุด $B$ ซึ่งอยู่ในจัตุภาคที่ 4 และอยู่บนวงรี $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ ถ้า $\overrightarrow{O B}$ มีขนาด $\frac{12}{\sqrt{31}}$ เมื่อ $O$ เป็นจุดกำเนิดแล้ว $\overrightarrow{O A}$ และ $\overrightarrow{O B}$ ทำมุมกันกี่องศา
19.กำหนดให้ $1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{16}-\frac{x^6}{64}+...$ เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ จงหาผลบวกของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$10^{1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{16}-\frac{x^6}{64}}-10^{\frac{12x}{8x^2+9x-2}}=0$ (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
20. มีนักกีฬา 6 คนได้แก่ $ A,B,C,D,E $ และ $F$ ต้องการจัดให้คนทั้งหกเข้าหอพักในบ้าน 3 หลัง
แต่ละหลังจะพักกี่คนก็ได้ไม่จำกัดจำนวน แต่ต้องมีนักกีฬาเข้าพักทุกหลัง โดยที่ $A$ และ $F$ ต้องการพักหลังเดียวกัน
จงหาจำนวนวิธีในการจัดนักกีฬาทั้งงหกคนเข้าพักตามเงื่อนไขที่กำหนด
21. ถ้า $\alpha$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{tan^{2}{\alpha}}+\frac{1}{cot^{2}{\alpha}}+\frac{1}{sin^{2}{\alpha}}+\frac{1}{cos^{2}{\alpha}}=7 $ แล้ว
$tan^{2}\alpha$ มีค่าเท่าไร
22. ถ้า $a_n$ เป็นลำดับ $a_n>0$ และ $\frac{{a^{2}_{n+1}}}{a_{n+1}+{2a_{n}}}$ $=a_n $ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และ $r>0$
แล้วค่าของ ${\frac{1}{a_1}}\sum_{n=1}^{10}a_n$ มีค่าเท่าใด
23. กำหนด $csc^2(A+B)-sin^2(A-B)+sin^2(A-3B)=cos^2(B-A)$
โดยที่ $0<A<\frac{\pi}{2}$ และ $0<B<\frac{\pi}{2}$
จงหาค่าของ $sin(A+B)$
24. ถ้า $0<x<2 \pi$ และ $4sin^{2}x+(1-\sqrt{3})sinxcosx+(-3-\sqrt{3})cos^{2}x$
$=-3$ จงหาผลบวกของสมการนี้(ตอบเป็นองศา)
25. ถ้า $A+I=\begin{bmatrix}
2 & 2 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}$ เมื่อ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วสมาชิกของ $A^{-1}$
ที่อยู่ในแถวที่สองหลักที่สองมีค่าเท่าไร
26. ถ้า $z_1$ และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $z_{1}z_{2}=2i$ และ $z^{-1}_{1}=cos{\frac{\pi}{6}}-isin{\frac{\pi}{6}}$ แล้ว
$\left | (z+cos30z_2)^4 \right | $ มีค่าเท่าไร
28. ถ้า $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $3^{x^2+2x}-3^{x^2+1}-9^{x+1}+27=0 และ B$ เป็นเซตของสมการ
$log_{2}x+4log_{x}2=5$ แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $A\cup B$ เท่ากับเท่าไร
29. ถ้า $\bigg( 2^{log_{2}(x^2+2x-6)^{x^2}} \bigg)\bigg((\frac{1}{2})^{log_2(x^2+2x-6)^{2x}}\bigg)=(4)^{\frac{x^2}{2}-x}$ แล้วค่าสัมบูรณืของผลบวกคำตอบทั้งหมดสมการนี้มีค่าเท่าใด
30. ถ้า $a$ เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดของสมการ $2^{2x}+2^{3x}+2^{4x}=2^{-4} $ และ $b^\frac{1}{c}$
เป็นคำตอบที่มากที่สุดของสมการ $log_{1024}x+log_{1024}x^2+...+log_{1024}x^{2020}=2021$
เมื่อ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก $a+b+c$ มีค่าเท่าไร$
\end{document}