อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut
มาปลุกหน่อยก็แล้วกันครับ ร้างมาเกือบ 2 ปี แล้ว
10. ให้
$$\prod_{n = 1}^{\infty}(1+nx^{3^n})=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+... $$
จงหาค่าของ $a_{2015}$
|
สวัสดีค่ะ
sketch of the solutions มั้ง หวังว่าคงถูก
เพราะว่า $2015=2202122_3$
แสดงว่า $2015$ ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป $3^{x_1}+3^{x_2}+...+3^{x_n}$ สำหรับบาง $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันได้
นั่นคือไม่สามารถสร้าง $x^{2015}$ จากบรรดา $x^{3^i}$ ต่างๆได้
ทำให้ $a_{2015}=0$
ตอนนี้ยังไม่มีโจทย์คอมบิที่(น่า)สนใจค่ะ
ขอลงโจทย์ไว้นิดนึง ซึ่งได้แรงบันดาลใจจากคลาสที่ลงค่ะ
11. กำหนด $A=\{x \in \mathbb{N} \ | \ x \leq 13\}$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไป $A$ ที่นิยามโดย
$f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=1$
$f(5)=6,f(6)=7,f(7)=5$
$f(8)=9,f(9)=8$
และ $f(i)=i$ เมื่อ $i=10,11,12,13$
จงหาจำนวนฟังก์ชั่นหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง $g$ จาก $A$ ไป $A$ ซึ่ง
ฟังก์ชั่น $g \circ f \circ g^{-1} =h$ สอดคล้องกับ
$h(9)=8,h(8)=7,h(7)=6,h(6)=9$
$h(5)=4,h(4)=3,h(3)=5$
$h(2)=1,h(1)=2$
และ $h(i)=i$ เมื่อ $i=10,11,12,13$