แทน n = 1 ได้เลขคู่ครับ
วิธีพิสูจน์สำหรับจำนวนนับใด ๆ ของผม มันอาจจะดูสิ้นเปลืองไปหน่อย ช่วยดูด้วยนะครับ
กำหนดให้
\[f(n) = (3 + \sqrt{7})^n + (3 - \sqrt{7})^n\]
เราจะรู้ว่า
\[f(n + 2) = 6 f(n + 1) - 2 f(n)\]
แทนค่า n = 0 และ n = 1 จะรู้ว่า
\[f(0) = 2\]\[f(1) = 6\]
จาก induction \(\rightarrow f(n)\) จะเป็นจำนวนคู่แน่นอน ถ้า \(n \in \mathbf{Z}^+\)
จาก...
\[(3 - \sqrt{7})^n < 1 \qquad ; n \in \mathbf{Z}^+\]
และ
\[f(n) = (3 + \sqrt{7})^n + (3 - \sqrt{7})^n \in \mathbf{Z} \qquad ; n \in \mathbf{Z}^+\]
ก็เลยรู้ว่า
\[f(n) = \lceil (3 + \sqrt{7})^n \rceil \qquad ; n \in \mathbf{Z}^+\]
สรุปแล้วก็คือ
\[\forall n \in \mathbf{Z}^+ \left[2 \mid \lceil (3 + \sqrt{7})^n \rceil\right]\]
หรือ ถ้าคิดกรณีทั่วไปมากขึ้นอีกนิด (จาก recurrence relation อันข้างบน) จะได้ว่า
\[2^{\lfloor n/2 \rfloor + 1} \mid \lceil (3 + \sqrt{7})^n \rceil\]