[Keehlzver]

ข้อ $1$ $(a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc$

Solution

$(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})(\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}})(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}})\geq(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{abc}{bca}}}+\sqrt[3]{\sqrt{\frac{bca}{abc}}})^3=2^3=8$ เเล้วจัดรูป

ข้อ $2$ $(a+b+c)^3\leq9(a^3+b^3+c^3)$

Solution

$(a^3+b^3+c^3)(1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)\geq(a\cdot1\cdot1+b\cdot1\cdot1+c\cdot1\cdot1)^3=(a+b+c)^3$

ข้อ $3$ $ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$

Solution

$(a^3+b^3+c^3)(b^3+c^3+a^3)(b^3+c^3+a^3)\geq(\sqrt[3]{a^3\cdot b^6}+\sqrt[3]{b^3\cdot c^6}+\sqrt[3]{c^3\cdot a^6})^3=(ab^2+bc^2+ca^2)^3$

ข้อ $4$ $a^2b+b^2c+c^2\leq a^3+b^3+c^3$

Solution

$(a^3+b^3+c^3)(a^3+c^3+a^3)(b^3+c^3+a^3)\geq(\sqrt[3]{a^6\cdot b^3}+\sqrt[3]{b^6\cdot c^3}+\sqrt[3]{c^6\cdot a^3})^3=(a^2b+b^2c+c^2a)^3$

ข้อ $5$ $3(a+b+c)\leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Solution1

อสมการสมมูลกับ $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq 3abc(a+b+c)$ มี lower bound $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^2\geq3abc(a+b+c)$ อสมการเเรก $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^3$ โดย Holder อสมการหลังเป็นผลโดยตรงมาจากอสมการเเรก

Solution2

กระจายออกมาอสมการสมมูลกับ $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\geq 2(a+b+c)$ ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ Holder $(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})(b+c+a)(a+b+c)\geq(a+b+c)^3$ เเละ $(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c})(a+b+c)(b+c+a)\geq(a+b+c)^3$

ข้อ $6$ $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq a+b+c$

Solution

$(b+c+a)(b+c+a)(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2})\geq(a+b+c)^3$

ข้อ $7$ $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq\frac{1}{3}(a+b+c)^2$

Solution

$(1+1+1)(b+c+a)(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a})\geq(a+b+c)^3$

ข้อ $8$ $(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{6})^3\leq\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{6}$

Solution

$(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{6})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})\geq(\sqrt[3]{\frac{a^3}{8}}+\sqrt[3]{\frac{b^3}{27}}+\sqrt[3]{\frac{c^3}{216}})^3=(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{6})^3$

ข้อ $9$ $(a+b+c)^3\leq (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$

Solution

$(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)\geq(\sqrt[3]{a^3\cdot1\cdot1}+\sqrt[3]{1 \cdot b^3 \cdot 1}+\sqrt[3]{1 \cdot1 \cdot c^3})^3=(a+b+c)^3$

ข้อ $10$ $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq\sqrt{\frac{3}{2}}$ เมื่อ $a+b+c=1$

Solution

Homogenize เป็น $(\sum\frac{a}{\sqrt{b+c}})^2\geq \frac{3}{2}(a+b+c)$ โดยอสมการ Holder $(\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})(\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})(\sum a(b+c))\geq (\sum a)^3\geq \frac{3}{2}(\sum a(b+c))(a+b+c)$ อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$ ซึ่งเป็นจริงโดย Holder $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^3$

รบกวน check ความถูกต้องด้วยครับ สำหรับข้อ 5 ผมอยากรู้ว่ามีวิธีที่ไม่ต้องกระจายไหมครับคุณ Nooonuii เเบบใช้ต่อเดียวออกเลย ถ้าไม่เป็นการรบกวนจนเกินไปนะครับ ผมขอโจทย์อีกได้ไหมครับ