ผมลองดูตรงนี้น่ะครับ ใช้ AM-GM $5(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geq 15$ จะต้องพิสูจน์ว่า
$\sum_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{a^2+3b^2}} \geq 3$ พอเจอเเบบนี้ผมเดาว่ามี $r$ ที่ทำให้ $\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+3b^2}} \geq \frac{3}{2}(\frac{a^r}{a^r+b^r+c^r})$ เเต่อสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $a=b=c=1$ ต่อไปจะหา $r$ ก็ตรึงค่า $b=c=1$ ลงไปเเล้วใช้อนุพันธ์ย่อยทั้งสองข้างตอนเป็นสมการเเทน $a=1$ เเก้สมการหาค่า $r$ ออกมาได้เป็น $\frac{9}{8}$ พอลอง check ดูว่าอสมการดังกล่าวเป็นจริงหรือไม่โดยเเทนค่า $a,b,c$ ที่ต่างกันลงไปเเล้วพบว่ามันยังเป็นจริงอ่ะครับ
เเต่พอจะมาพิสูจน์อสมการนี้ดู เพื่อลดความยุ่งยากเเทน $(a,b,c)=(x^8y^8,x^8,y^8)$ เเต่อสมการที่ได้มาไม่ทราบว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไร ผมติดตรงนี้มา 2-3 วันเเล้วไม่ออกซักทีครับ เเล้วอีกอย่างพวกโคชีหรือโฮลเดอร์นี้ bound เเล้วตกขอบไป รบกวนช่วยชี้เเนะด้วยนะครับว่าผมควรจะพิสูจน์อสมการสุดท้ายนี้อย่างไร
