7.เราจะแสดงว่าถ้า $a,b,c>0$แล้ว $$a^4+b^4+c^4\geq a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$$
(i)โดยอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า
$$3a^4+b^4=a^4+a^4+a^4+b^4\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{4}}=4a^3b$$
ในทำนองเดียวกันเราก็จะได้ว่า
$$3b^4+c^4\geq 4b^3c , 3c^4+a^4\geq 4c^3a$$
เมื่อนำอสมการแต่ละอันมาบวกกันจะได้ว่า
$$4(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a^3b+b^3c+c^3a)$$
ซึ่งก็จะได้สิ่งที่ต้องการ #
(ii)จากความจริงที่ว่า $x^2+y^2\geq 2xy$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$
โดยอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า
$$a+b+c=\sum_{cyc}(\sqrt{c}\frac{a}{\sqrt{c}})\leq\frac{1}{2}\sum_{cyc}(c+\frac{a^2}{c})=\frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{2}(\frac{a^ 2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b})$$ ฉะนั้น $$\frac{1}{2}(a+b+c)\leq \frac{1}{2}(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b})$$ นั่นคือ $a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$ #
จากทั้งสองกรณีจึงได้ว่า $$a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$$ ตามต้องการ #