อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10
35. สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนดให้ $a_n=$ จำนวนจริงที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้เส้นตรง $y=a_nx$ ตัดกราฟ $y=sin x$ ทั้งหมด $4n+1$ จุด จงหาค่าของ $\lim_{n\rightarrow\infty} na_n$
|
ตอนแรกไม่สนใจข้อนี้เท่าไหร่ แตตอนนี้ เห็นเงียบๆ ก็เลยขอลองทดดูครับ
ในฝั่งบวก กราฟจะตัด sin x ใน $ (0, \pi ) ,(2\pi , 3\pi) ,...$ (ส่วนฝั่งลบก็สมมาตรกับฝั่งบวก)
เพราะฉะนั้น แสดงว่า 4n+1 จุด เกิดได้กรณีเดียวคือ จุดสุดท้ายก่อนเส้นตรงพ้นจากกราฟ sin x นั้น กราฟเส้นตรงจะต้องสัมผัสกราฟ sin x พอดี ที่ $ x= x_n= 2n\pi + l_n \,\, ,0< l_n \leq \frac{\pi}{2} $
เนื่องจาก slope เส้นตรงดูจาก $ a_n $ ดังนั้น $ a_n = \cos x_n = \cos l_n $
เมื่อ n มากขึ้น จำนวนจุดตัดมากขึ้น ดังนั้น $a_n$ เป็นลำดับลด ส่งผลให้ $ l_n $ ลู่เข้า $\frac{\pi}{2}$
ในขณะเดียวกัน $ a_n = \frac{y_n}{x_n} = \frac{\sin x_n}{x_n} = \frac{\sin l_n}{2n\pi + l_n}$
ดังนั้น $ \lim_{n\rightarrow\infty} na_n =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\sin l_n}{2n\pi + l_n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin l_n}{2\pi + \frac{l_n}{n}} = \frac{1}{2\pi}$
Note : $ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{l_n}{n} = 0 $ โดยใช้ squeezing theorem และพิจารณา
$ 0 < \frac{l_n}{n} \leq \frac{\pi /2}{n}$