[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

ขอบคุณทีช่วยตอบคำถามนะคะ

แนะนำวิธีไม่ค่อยสวยก็ได้ค่ะ

solutionแบบป่าเถื่อน

ขั้นที่ 1 จะแสดงว่า N = 1001001001001 หารด้วย 31 ลงตัว

เนื่องจาก $10^3 \equiv 8 \mod 31$

ดังนั้น $10^6 = (10^3)^2 \equiv 8^2 \mod 31 \equiv 2 \mod 31$

และจะได้ $10^9 \equiv 16 \mod 31$

และ $10^{12} \equiv 4 \mod 31$

ดังนั้น $10^{12} + 10^9 + 10^6 + 10^3 + 1 \equiv 4+16+2+8+1 \mod 31 \equiv 0 \mod 31$

นั่นคือ 1001001001001 หารด้วย 31 ลงตัว

ขั้นที่ 2. $M = 10^{2k-2} + 10^{2k-4} + ... + 10^2 + 1$

ถ้า M หารด้วย N ลงตัว แสดงว่า $M \ge N$ ดังนั้น $2k - 2 \ge 12 \Rightarrow k \ge 7$

(ถ้า k = 7 เห็นชัดว่าเป็นไปไม่ได้ เพราะต้องเท่ากันพอดี)

เนื่องจาก M หารด้วย N ลงตัว แสดงว่า M ต้องหารด้วย 31 ลงตัวด้วย

คำนวณเขียนค่าต่อไปนี้เอาไว้

$10^0 \equiv 1 \mod 31$

$10^1 \equiv 10 \mod 31$

$10^2 \equiv 7 \mod 31$

$10^3 \equiv 8 \mod 31$

$10^4 \equiv 18 \mod 31$

$10^5 \equiv 25 \mod 31$

$10^6 \equiv 2 \mod 31$

$10^7 \equiv 20 \mod 31$

$10^8 \equiv 14 \mod 31$

$10^9 \equiv 16 \mod 31$

$10^{10} \equiv 5 \mod 31$

$10^{11} \equiv 19 \mod 31$

$10^{12} \equiv 4 \mod 31$

$10^{13} \equiv 9 \mod 31$

$10^{14} \equiv 28 \mod 31$

$10^{15} \equiv 1 \mod 31$

$10^{16} \equiv 10 \mod 31$ เริ่มวนซ้ำ

กรณีที่ 1. k = 8

$M = 10^{14} + 10^{12} + 10^{10} + 10^{8} + 10^{6} + 10^{4} + 10^{2} + 1 \equiv (28+4+5+14+2+18+7+1)\mod 31 \equiv 17 \mod 31$

กรณีที่ 2. k = 9

$M = 10^{16} + 10^{14} + ... + 1 \equiv 10+17 \mod 31 \equiv 27 \mod 31$

ทำนองเดียวกัน

กรณีที่ 3. k = 10

$M \equiv 8 + 27 \equiv 4 \mod 31$

กรณีที่ 4. k = 11

$M \equiv 25 + 4 \equiv 29 \mod 31$

กรณีที่ 5. k = 12

$M \equiv 20 + 29 \equiv 18 \mod 31$

กรณีที่ 6. k = 13

$M \equiv 16 + 18 \equiv 3 \mod 31$

กรณีที่ 7. k = 14

$M \equiv 19 + 3 \equiv 22 \mod 31$

กรณีที่ 8. k = 15

$M \equiv 9 + 22 \equiv 0 \mod 31$

นั่นคือ k น้อยสุดที่หารด้วย 31 ลงตัวคือ k = 15

และนอกจากนี้ เนื่องจาก $M = \frac{10^{2k}-1}{99}$ และ $N = \frac{10^{15}-1}{999}$

ดังนั้นถ้า $k = 15$ จึงได้ว่า $M/N = \frac{(10^{15}-1)(10^{15}+1)}{99} \cdot \frac{999}{10^{15}-1} = \frac{(10^{15}+1)(111)}{11}$

และ 11 หาร $10^{15}+1$ ลงตัว

(ดูผลต่างของผลบวกในหลักคู่กับหลักคี่ หรือจะใช้ว่า $10 \equiv -1 \mod 11 \Rightarrow 10^{15}+1 \equiv (-1)^{15}+1 \equiv 0 \mod 11$ ก็ได้)

จึงสรุปได้ว่า k น้อยสุดคือ 15