[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ blue dragon

10.ให้ a เป็นจำนวนจริงคงค่าและ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสองซึ่งสอดคล้องสมบัติว่า $P(x)$ ไม่เป็นจำนวนลบสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ โดยที่ $P(a)=0$ และ $P(a+1)=\frac {1}{5}$ แล้ว
$P(a+1)+P(a+2)+⋯...+P(a+30)$ เท่ากับเท่าใด

เราเขียน$P(x)=(x-a)(x-b)=0$ เพราะโจทย์กำหนดให้$P(a)=0$ คือ $a$ เป็นรากของสมการ และ $b$ เป็นอีกรากหนึ่งของสมการ
$P(a+1)=(a+1-a)(a+1-b)=\frac {1}{5}\rightarrow a-b=-\frac{4}{5} $
$P(a+2)=(a+2-a)(a+2-b)=2\left(\,-\frac{4}{5}+2\right) $
เราสังเกตเห็นว่า$P(a+p)=p\times \left\{\,-\frac{4}{5}+p\right\} =p^2-\frac{4}{5}p$
ดังนั้น$P(a+1)+P(a+2)+⋯...+P(a+30)=\left\{\,1^2+2^2+...+30^2\right\}- \frac{4}{5}\left\{\,1+2+3+...+30\right\} $
$=\frac{30\times 31\times 61}{6}-\frac{4}{5}\left\{\,\frac{30\times 31}{2} \right\} $
$=5\times 31\times 61-\frac{4}{5}(15\times 31)$
$=5\times 31\times 61-4\times 3\times 31$
$=31\times (305-12)$
$=9083$