[กขฃคฅฆง]

เรขาคณิต

ข้อละ 10 คะแนน

1. ให้รูปสามเหลี่ยม $ABC$ ใดๆ และจุด $D$ บนด้าน $BC$ โดยที่ $D$ อยู่ใกล้ $C$ มากกว่า $B$

จงอธิบายขั้นตอนวิธีการสร้างเพื่อหาจุด $E$ บนด้าน $AB$ ที่ทำให้ $DE$ แบ่งสามเหลี่ยม $ABC$ ออกเป็นสองส่วนที่มีพื้นที่เท่ากัน พร้อมอธิบายเหตุผลประกอบ


2. ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ใดๆ ให้ $D$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ หรือส่วนต่อ โดยที่ $AD$ คือส่วนสูงของสามเหลี่ยมจากจุดยอด $A$

และกำหนด $E$ เป็นจุดบนวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่ง $AE$ ขนานกับด้าน $BC$

จงพิสูจน์ว่าส่วนของเส้นตรง $DE$ ผ่านจุดเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม $ABC$


3. ให้รูปสามเหลี่ยม $ABC$ ใดๆ โดยมีด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ ยาว $a,b,c$ ตามลำดับ มี $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน และ $D$ เป็นจุดตัดระหว่าง ส่วนต่อของ $AI$ และ $BC$

3.1 จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{AI}{ID} = \dfrac{b+c}{a} $

3.2 กำหนด $b+c=2a$ และให้ $M$ เป็นจุดตัดระหว่างส่วนต่อของ $AD$ และวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ จงแสดงว่า $AI=IM$


4. ให้สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม และ $A',B',C'$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $BC,CA,AB$ ตามลำดับ

กำหนด $H$ เป็นจุดออร์โทเซนเตอร์ของสามเหลี่ยม $ABC$ และ $A_H,B_H,C_H$ เป็นจุดตัดของส่วนต่อของ $AH,BH,CH$ กับแต่ละด้านของสามเหลี่ยมตามลำดับ

จงแสดงว่า $A_HB'+B'C_H+C_HA'+A'B_H+B_HC'+C'A_H$ มีค่าเท่ากับความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$


5. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ที่มีจุด $P$ เป็นจุดภายใน โดยที่ $PA=5,PB=3,PC=7$ พร้อมอธิบายเหตุผลประกอบ

คอมบินาทอริก

ข้อละ 10 คะแนน

1. ให้ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ซึ่งเป็นจุดในสามมิติ โดยที่ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง

$-4\leqslant x\leqslant -2,-3\leqslant y\leqslant 1,-2\leqslant z\leqslant 4$ หากเลือกสุ่มจุดสองจุดในเซต $A$ มา

จงหาความน่าจะเป็นที่จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดดังกล่าวจะเป็นจุดที่อยู่ในเซต $A$


2. แบ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด $n\times n$ ออกเป็นช่องขนาด $1\times 1$ จำนวน $n^2$ ช่องเท่าๆกัน แล้วทาสีแต่ละช่องด้วยสีน้ำเงินหรือสีแดง

จงหาความน่าจะเป็นที่ภายหลังการทาสีทุกช่องแล้ว จะได้สี่เหลี่ยมขนาด $(n-1)\times (n-1)$ โดยที่ทุกช่องของสี่เหลี่ยมนี้ถูกทาด้วยสีเดียวกัน


3. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า $$\dfrac{1}{1\cdot 2}\binom{n}{1} - \dfrac{1}{2\cdot 3}\binom{n}{2}+\dfrac{1}{3\cdot 4}\binom{n}{3}-...+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n\cdot (n+1)}\binom{n}{n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n+1} $$


4. ทีมฟุตบอลทีมหนึ่ง ให้นักฟุตบอลทั้งหมด $11$ คน ได้ถ่ายรูปร่วมกันแบบยืนเรียงหน้ากระดานจำนวน $1$ รูปตอนนัดเปิดฤดูกาล

ต่อมา ภายหลังจบนัดสุดท้ายของฤดูกาล ทีมฟุตบอลนี้สามารถคว้าแชมป์มาครองได้ นักฟุตบอลทั้ง $11$ คนในทีมนี้

จึงต้องการถ่ายรูปยืนเรียงหน้ากระดานรวมกันอีกครั้งเพื่อเป็นที่ระลึก

4.1 จงหาจำนวนวิธียืนถ่ายรูปของนักฟุตบอล $11$ คนนี้ โดยที่คนยืนติดด้านขวาของนักฟุตบอลแต่ละคนต้องไม่ใช่คนเดิมกับคนที่ถ่ายด้วยกันตอนเปิดฤดูกาล

4.2 ถ้าสมมติให้ทีมนี้มีผู้เล่น $n$ คน ($n\geqslant 11$) มายืนเรียงหน้ากระดานถ่ายรูปตอนเริ่มฤดูกาล และต้องการถ่ายรูปตอนปิดฤดูกาลอีกครั้งด้วยเงื่อนไขเดียวกับข้อ 4.1

จงแสดงว่าจำนวนวิธียืนถ่ายรูปนี้มีน้อยกว่าจำนวนวิธีที่มีคนบางคนยืนติดกับคนด้านขวาคนเดิม


5. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาจำนวนวิธีในการเขียน $n$ ให้อยู่ในรูปผลบวกใดๆ ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $n$

โดยลำดับของตัวเลขที่เขียนต่างกันจะถือว่าเป็นคนละวิธีกัน (เช่น มีวิธีเขียน $3$ ในรูปผลบวกดังกล่าวได้ $3$ วิธี ได้แก่ $1+1+1,1+2,2+1$)

พีชคณิต

1. (10 คะแนน) จงแสดงว่า

$1-\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4} +...+\dfrac{1}{2n-1} =\dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n-1}$

ทุกจำนวนเต็มบวก $n$


2. (12 คะแนน) ให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z+\dfrac{1}{z} =2cos\dfrac{\pi }{15}$

จงหาจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $z^{2000}+\dfrac{1}{z^{2000}}$


3. (14 คะแนน) จงหาจำนวนจริง $a$ และ $b$ ที่ทำให้สมการ $x^3-5x^2+7x-a=0$

และ $x^3-8x+b=0$ มีรากซ้ำกันสองราก


4. (14 คะแนน) จงพิสูจน์ว่า $\sqrt{2} +\sqrt[3]{5} $ เป็นจำนวนอตรรกยะ

อสมการ

ข้อละ 10 คะแนน

1. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันและมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ $1$ จงแสดงว่า

$|a-b|+|b-c|+|c-a|+6\leqslant 2\sqrt{2} (a+b+c)$


2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a^2+b^2+c^2=1$ จงแสดงว่า

$ac(2a^3+b^3)+ab(2b^3+c^3)+bc(2c^3+a^3)\geqslant 3abc$


3. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า $2$ ซึ่ง $\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b-2}+\dfrac{1}{c-2} =1$

จงแสดงว่า $\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-1} } +\dfrac{b^2}{\sqrt{b^2-1} }+\dfrac{c^2}{\sqrt{c^2-1} }\geqslant 15$


4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า

$\dfrac{1}{a^4+b^4+c} +\dfrac{1}{b^4+c^4+a} +\dfrac{1}{c^4+a^4+b} \leqslant 1$


5. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า $1$ และ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก

ซึ่ง $a_1+a_2+...+a_n=1$ จงแสดงว่า

$a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\geqslant \dfrac{2}{n\sqrt{n-1} }[a_1(1-a_1)+a_2(1-a_2)+...+a_n(1-a_n)]$

ทฤษฎีจำนวน

ข้อละ 10 คะแนน

1. สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $a,b,c,d$ ซึ่ง $(a,b)=1=(c,d)$

จงพิสูจน์ว่า $(a,c)(b,d) \mid (ab,cd)$


2. จำนวนเชิงสี่หน้า (tetrahedral numbers) คือจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป $T_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} $ เมื่อ $n \in \mathbb{N} $

ให้ $S=\{T_{n_1},T_{n_2},...,T_{n_k}\}$ เป็นเซตของจำนวนเชิงสี่หน้าซึ่งสมาชิกใน $S$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันทุกคู่

จงแสดงว่าจะมีจำนวนเชิงสี่หน้าเป็นจำนวนอนันต์ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันกับสมาชิกแต่ละตัวใน $S$


3. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า $\displaystyle{\sum_{d\mid n}\mu (d) (\dfrac{n}{d} )=\phi (n)}$


4. ให้ $S=\{m^2+2n^2 \in \mathbb{N} | m,n \in \mathbb{Z} ,n \not= 0 \}$

จงแสดงว่าถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p^2 \in S$ แล้ว $p \in S$


5. จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $27(2^8)-2^9+2^n$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์