ได้ไปเที่ยวค่ายที่ ม.นเรศวร มาครับ ได้เห็นโจทย์เลยจำมาฝากครับ
)
Number Theory
1. จงแสดงว่ามีจำนวนนับ $n$ เป็นอนันต์ตัวที่ทำให้ $1444...443$ (มี $4$ อยู่ $n$ ตัว) เป็นพหุคูณของ $1443$
2. ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า $1$ จงแสดงว่า ถ้า $m\phi (m)=n\phi (n)$ แล้ว $m=n$
Combinatorics
1. จงหาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากเซต ${0,1,2,...,9}$ ไปยังเซต ${1,2,3,4}$
2. มีจุด $10$ จุดอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ $1$ หน่วย จงแสดงว่า
ก) มี $2$ จุดที่ห่างกันไม่เกิน $\frac{\sqrt{2}}{3} $ หน่วย
ข) มี $3$ ที่อยู่ภายในบริเวณวงกลมรัศมี $\frac{1}{2}$ หน่วย
Inequality
1. จงหาค่า $K$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
$$\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\leqslant K(a^2+b^2+c^2)^2 $$
สำหรับทุกจำนวนจริง $a,b,c$ ใดๆ
2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{8}{bc}}}+\frac{1}{b\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{8}{ca}}}+\frac{1}{c\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{ 8}{ab}}}\geqslant 1$$
Geometry (มีข้อเดียวเพราะอีกข้อโจทย์ผิด)
1. สามเหลี่ยมสองรูปมีด้านขนานกันเป็นคู่ๆ และเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดที่สมนัยกันตัดกันที่จุดเดียว จงพิสูจน์ว่า เส้นออยเลอร์ (Euler line) ของสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะขนานกัน
(อย่าเพิ่งใช้ Homothety นะครับ ลองทำแบบเนื้อหา สอวน. ดู
) )
ถ้าจำได้อีกจะมาลงนะครับ