ข้อ 2 คำตอบคือ ${2000}$
จุดหลัก ๆ ในการแก้โจทย์คือการใช้ mod 1000 โดยจากเงื่อนไขของโจทย์จะได้ว่า $n^2-2\equiv n \mod 1000 \Leftrightarrow 1000\mid n^2-n-2 \Leftrightarrow 1000\mid(n-2)(n+1)$
สังเกตว่าถ้า $2$ สามารถหารตัวใดตัวหนึ่งใน $n-2$ และ $n+1$ แล้ว $2$ ไม่สามารถหารอีกตัวหนึ่งได้ และในขณะเดียวกัน ถ้า $5$ สามารถหารตัวใดตัวหนึ่งใน $n-2$ และ $n+1$ แล้ว $5$ ไม่สามารถหารอีกตัวหนึ่งได้ ดังนั้นแบ่งเคสได้ดังนี้
กรณี 1 $8 \mid n-2$ และ $125 \mid n+1 \Leftrightarrow n \equiv 874 \mod 1000$
กรณี 2 $125 \mid n-2$ และ $8 \mid n+1 \Leftrightarrow n \equiv 127 \mod 1000$
กรณี 3 $1000 \mid n-2$ $\Leftrightarrow n \equiv 2 \mod 1000$
กรณี 4 $1000 \mid n+1$ $\Leftrightarrow n \equiv 999 \mod 1000$
จากที่ $n$ เป็นจำนวนสามหลักได้ว่า $n=127, 874, 999$ ซึ่งมีผลบวกเท่ากับ $2000$
|