[ขลุ่ยผุไร้สำเนียง]

ข้อสอบ PAT1 ที่พึ่งสอบไปเมื่อวาน (10 ตุลาคม 2552) มีข้อหนึ่งที่ผมสงสัยว่า มันคิดแบบไหน แบบแรกได้คำตอบ 3 แบบที่สองได้คำตอบ 4 แบบไหนถูก หรือไม่ถูกทั้งสองคำตอบ เลย

\[\lim_{n \to \infty} \frac{(3n + 12n + 27n + ... + 3n^3)}{(1 + 8 + 27 + ... + n^3)}\]

ถ้าจะคิด โดยมองว่า สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร n ที่ยกกำลังสูงที่สุด ของตัวบนตัวล่าง ได้คำตอบเป็น 3 ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

\[\lim_{n \to \infty} \frac{(3n + 12n + 27n + ... + 3n^3)}{(1 + 8 + 27 + ... + n^3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^3}{n^3} = \frac{3}{1} = 3\]

หรือว่า แปลงค่าก่อนเช่น (ผมไม่รู้ว่าผมคิดมากไปหรือเปล่า)

\[\lim_{n \to \infty} \frac{(3n + 12n + 27n + ... + 3n^3)}{(1 + 8 + 27 + ... + n^3)} \]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{(3(1^2)n + 3(2^2)n + 3(3^2)n + ... + 3(n^2)n)}{\sum_{i = 1}^{n} i^3 } \]


\[= \lim_{n \to \infty} \frac{3n(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)}{ (\frac{(n^2 + n)}{2})^2 } \]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{3n(\frac{(n(n+1)(2n+1)}{6})}{ (\frac{n^4 + 2n^3 + n^2)}{4}) } \]

ผมคิดเฉพาะตัวที่ยกกำลังสูงที่สุดเท่านั้นนะครับ

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n^4}{6}}{\frac{n^4}{4}} \]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{4n^4}{n^4} \]

\[= 4 \]

ขอบคุณล่วงหน้าครับ