[Thamma]

# 3

$ 2014^k + 1 $

$ = (2015 – 1)^k + 1 $

$ = 2015^k + {k\choose1}2015^{k-1} (-1) + … + {k\choose k-2} 2015^2 (-1)^{k-2} + {k\choose k-1} 2015 (-1)^{k-1} + (-1)^k + 1 $

$ เนื่องจาก\; k \;เป็นเลขคี่ ดังนั้น\; (-1)^k + 1 = 0 $

$ = 2015^k + {k\choose1}2015^{k-1} (-1) + … + {k\choose k-2} 2015^2 (-1)^{k-2} + {k \choose k-1} 2015 (-1)^{k-1} $

$ = 2015^k + {k\choose1}2015^{k-1} (-1) + … + {k\choose k-2} 2015^2 (-1)^{k-2} + k \cdot 2015 $

$ เนื่องจาก\; 2015^2 \mid 2015^k + {k\choose1}2015^{k-1} (-1) + … + {k\choose k-2} 2015^2 (-1)^{k-2} $

$ ดังนั้น\; 2015^2 \mid k \cdot 2015 $

$ ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ\; 2015 \mid k $

ดังนั้น k ที่น้อยที่สุดคือ 2015