ผมว่าตรงนี้ยังไม่ต้องใช้ทฤษฏีอะไรสูงมากนักครับ
$\large \text{สมมติให้ } 4n^2-2n+1\equiv 0\pmod{2549}$ $\mathbb{\qquad...(1)}$
ได้ $8n^3+1\equiv 0\pmod{2549}$
นั่นคือ $ (2n)^3\equiv-1\pmod{2549}$
จาก $ (2n)^{\phi(2549)=2548}\equiv-1\pmod{2549}$
ได้ว่า $-1\equiv (2n)^{1699(3)}=(2n)^{2(2548)+1}\equiv 2n\pmod{2549}$
นั่นคือ $2n+1 \equiv 0\pmod{2549} \qquad\mathbb{...(2)}$
ซึ่ง
$\gcd(2n+1,4n^2-2n+1)$
$=\gcd(2n+1,4n^2-2n+1-(2n-1)(2n+1))$
$=\gcd(2n+1,-2n+2)$
$=\gcd(2n+1,3)$
$\leq 3$
จาก $(1)$ และ $(2)$ ได้ $\gcd(2n+1,4n^2-2n+1) \geq 2549$ เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้น $2549\not|4n^2-2n+1 \qquad \forall n\in \mathbb{Z}$