[Euler-Fermat]

IE:$$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} \geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}$$
ยกกำลัง 6 $$ 27(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 64(ab+bc+ca)^3 $$
$$ 81(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 192(ab+bc+ca)^3 $$
พิจารณา $$ 3(ab+bc+ca) \leqslant (a+b+c)^2 $$
$$ 81(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 64(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2$$
$$ 9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
จาก $$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$
$$9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]$$
$$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc $$

NT 1: พิจารณา $$(1+x)^{2n} = (1+x)^n(1+x)^n$$
ดูสัมประสิทธิ์ $x^n$ และเทียบสัมประสิทธิ์ $$ [\dbinom{n}{0}\dbinom{n}{n}+\dbinom{n}{1}\dbinom{n}{n-1}+....+\dbinom{n}{n}\dbinom{n}{0}]x^n = \dbinom{2n}{n}x^n $$
$$\therefore \dbinom{n}{0}^2+\dbinom{n}{1}^2+....+\dbinom{n}{n}^2 = \dbinom{2n}{n}$$
$$\therefore \dbinom{2p}{p} = \dbinom{p}{0}^2+\dbinom{p}{1}^2+....+\dbinom{p}{p}^2 $$
และ $$p \mid \dbinom{p}{r}$$ ทุกจำนวนนับ $r > 1$
ได้ $$\dbinom{2p}{p} \equiv 2 (mod p)$$