[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

Number Theory

1. จงหา หรม ของ $(a_1,a_2,a_3,..., a_{2012}) $ โดยที่ $a_n=n^{17}-n$

พบว่า ถ้า $p\le 17$ จะได้ว่า $n^{p-1}\equiv 1\pmod p$ ทุกๆ $(n,p)=1$ เเละ ถ้า $p|n$ จะได้ว่า $p|n^{17}-n$ เสมอ โดยได้อีกว่า $p-1|16$ นั่นคือสำหรับ $p\le 17$ จะได้ $p|a_n$ ทุกๆ $n\in N$
ถ้า มีจน.เฉพาะ $p>17$ ให้ $p=17+m$ เมื่อ $m\ge 2$ เเละให้ $p|2^{17}-2=a_2$
จะได้ว่า $$ 2^{16+m}\equiv 2^{16}\equiv 1 \pmod p$$
ดังนั้น $2^{m}\equiv 1\pmod p$
เเละพิจารณาว่าถ้า $m\ge p-1$ จะเกิดข้อขัดเเย้งคือ $p=17+m\ge p+16$ ดงัน้น $m<p-1\rightarrow m|p-1=16+m$ นั่นคือหา $m$ ได้ไม่กี่ค่าเเละพบว่า $m=2$ เท่านั้นที่ทำให้ $p$ เป็นจน.เฉพาะเเละไม่เป็นจริงด้วย ดังนั้น $p\le 17$
เเละพิจารณาว่า ทุกๆ $p\le 17$ จะได้ว่าถ้า $p^\alpha|p^{17}-p$ เมื่อ $\alpha >1$ จะได้ $p^{\alpha-1}|p^{16}-1$ ซึ่งขัดเเย้ง ดังนั้น ได้ว่า$(a_1,a_2,a_3,..., a_{2012}) =2\times3\times5\times7\times11\times13\times17=510510$