ที่ผมทำนะครับ
ระดับมัธยม
อ้างอิง:
|
ข้อ1. (4 คะแนน)จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ AE=EC และ DC=2BD จงหาอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม EFDC ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม BFD
|
ก่อนอื่นต้องหาอัตราส่วน BF : FE
(ในห้องส่งคำตอบ รูปผมหาย)
ABC เป็นสามเหลี่ยม โดยที่ AE=EC ให้ G เป็นจุดกึ่งกลาง BC
ลาก EG แล้วต่อไปถึง H ให้ GH = GE, ลาก BH และ AH
จะได้ ABHE เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มี EB, AH เป็นเส้นทแยงมุม ตัดกันที่ F
จะได้ F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน EB (เส้นทแยงมุมตัดกัน แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน)
มีคำถามว่า แล้วจะรู้ได้อย่างไรว่า จุด D ทำให้ CD = 2DB (ตามที่โจทย์กำหนด)
ลากเส้น FG จะได้ว่า (สามเหลี่ยมEBH) มี BH = 2 FG (ลากเส้นเชื่อมจุดแบ่งครึ่งด้าน จะขนานและเป็นครึ่งหนึ่ง)
(ในห้องส่งคำตอบ รูปผมหาย)
สามเหลี่ยม$FGD$ คล้าย สามเหลี่ยม $DBH$
$\frac{FG}{BH} = \frac{GD}{BD} = \frac{FD}{DH} = \frac{1}{2}$
ดังนั้น $BD = 2GD$
นั่นคือ BD เป็นครึ่งหนึ่งของ CD (G แบ่งครึ่งBC)
จากรูป
สามเหลี่ยม EBC จะได้ BF:FE = 1 :1 (จากที่พิสูจน์ข้างต้น) และ BD:CD = 1 : 2 (จากโจทย์)
ขออนุญาตใช้สูตรที่ผมเคยพิสูจน์มาแล้วในเว็บนี้
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7200
จะได้
$\frac{สามเหลี่ยมBFD}{สามเหลี่ยมBCE}$ = $\frac{1\cdot 1}{(1+1)(1+2)} =\frac{1}{6}$
ดังนั้นอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม EFDC ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม BFD = $5 :1$ ANS