ขออภัยที่ทำให้รอครับ
กรุณาอ่านคำสั่งในลิงค์โจทย์แต่ระดับ และคำชี้แจงในกระทู้กฎ กติกาฯ ให้เข้าใจก่อนส่งคำตอบในห้องส่งคำตอบ มิฉะนั้นจะไม่ได้คะแนน
หากมีผู้ขอส่งคำตอบก่อน ให้ตรวจได้หลังจากวันวันพุธที่ 17 มิถุนายน 2553 เวลา 12:00 น.
หากมีข้อสงสัยหรือสอบถามเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึง 22:30 น. วันพุธที่ 9 มิถุนายน 2553 ครับ
คำสั่ง: จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด
โจทย์ทุกข้อ คะแนนเต็มข้อละ 6 คะแนน
1. กำหนดฟังก์ชัน $f :\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ สำหรับทุกๆจำนวนจริง $a,b,c,d,e$ สอดคล้องเงื่อนไข
$$f(a,b,c)+f(b,c,d)+f(c,d,e)+f(d,e,a)+f(e,a,b)=a+b+c+d+e$$จงพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนจริง $x_1,x_2,....,x_{2011}$ ใดๆจะได้ว่า$$f(x_1,x_2,x_3)+f(x_2,x_3,x_4)+....+f(x_{2010},x_{2011},x_1)+f(x_{2011},x_1,x_2)=x_1+x_2+....+x_{2011}$$
2.เราจะเรียกจำนวนตรรกยะบวก $x$ ว่า บันไซ (banzai) ถ้าสอดคล้องเงื่อนไข $x=\frac{p}{q}>1$ เมื่อ $p,q$ เป็นจำนวนนับที่มี หรม. ร่วมกันเป็น 1 และมีค่าคงที่ $\alpha,N$ ซึ่งสำหรับทุกจำนวนเต็ม $n\geq N$,$$\mid \left\{\,x^n\right\} -\alpha\mid \leq \dfrac{1}{2(p+q)}$$
จงหาจำนวน บันไซ ทั้งหมด
(์Note:$\left\{\,x\right\}$ หมยถึง Fractional Part ของ $x$)
3. $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมนูน และจุด $K$ เป็นจุดบนด้าน $AB$ โดยที่ $\angle KDA=\angle BCD$ ให้ $L$ เป็นจุดบนเส้นทแยงมุม $AC$ โดยที่ $KL$ ขนานกับ $BC$ จงแสดงว่า
$$\angle KDB=\angle LDC$$
4. In a circle,two non-intersecting chords $AB,CD$ are drawn.On the chord $AB$,a point $E$ (differ from $A$,$B$) is taken.
Consider the arc $AB$ that does not contain the points $C,D$.
With a compass and a straighthedge, find all possible point $F$ on that arc such that $\dfrac{PE}{EQ}=\dfrac{1}{2}$,
where $P$ and $Q$ are the points in which the chord $AB$ meets the segment $FC$ and $FD$.
(โจทย์ทุกข้อ เสนอโดยคุณ tatari/nightmare)
คำสั่ง: จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด
คะแนนเต็ม 26 คะแนน
1. (4 คะแนน) กำหนดให้ x เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ $x=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...} } }$
จงหาค่าของ $x^2+2x+2013$
2. (4 คะแนน) กำหนดให้ $a=\dfrac{\sec 80^\circ}{ \sec 60^\circ}-\dfrac{\sec 10^\circ }{\sec 30^\circ}$ และ $x+a , x^2 , ax+7$ เรียงเป็นลำดับเลขคณิต
เมื่อผลต่างร่วมเป็นจำนวนนับแล้ว จงหาค่า $x$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
3. (4 คะแนน) ให้ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาเซตคำตอบของอสมการ $$\log_\frac{a}{a+1} (x^2 - 6x+17) \geq \log_\frac{a}{a+1} (\frac{48}{x+3})$$
(เสนอโดยคุณ Suwiwat B)
4. (4 คะแนน) กำหนดให้สมการ $4x^3 - (a-2)x - (a+4) = 0$ โดยที่ a เป็นจำนวนเต็ม
มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกเเละไม่ใช่จำนวนเต็ม จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด
(เสนอโดยคุณ Suwiwat B)
5. (5 คะแนน) กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งทำให้ผลรวม $n$ พจน์แรก $(S_n)$ ของ $\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}$ มีค่าน้อยที่สุด
และลำดับ $a_1,a_2,a_3,...a_n $ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a_1+a_2+...+a_n=17$ จงหา $S_{10}$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
6. (5 คะแนน) กำหนดให้ $$p(x,y)=\sqrt{(x-2)^2+(y+2)^2} +\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2} +\sqrt{(x+4)^2+(y+4)^2} $$จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $p(x,y)$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
ตอนที่ 1: จงเขียนเฉพาะคำตอบพร้อมหน่วย(ถ้ามี)ของทุกข้อในความคิดเห็นเดียวกัน
แต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 2 คะแนน
1. วงกลมวงหนึ่งล้อมรอบหกเหลี่ยม $ABCDEF$ ซึ่ง $AB=BC=DE=EF=4$ และ $AD=BE=CF$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม
และมุม $FAD=45^\circ$ จงหาพื้นที่หกเหลี่ยม $ABCDEF$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
2. กำหนดระบบสมการ
$x^3-xyz=5\ \qquad(1)$
$y^3-xyz=14\qquad(2)$
$z^3-xyz=33\qquad(3)$
จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x^3+y^3+z^3$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
3. สมการ $((x^2-2)^2-5)^2=1$ จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดกี่คำตอบ
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
4. จงหาจำนวนนับ $n>1$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $(8044n+1)(8052n+1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
5. กำหนดให้ $a,b$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-3x+1=0$ และ $c,d$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-4x+1=0$
จงหาค่าของ $(2-a)(2-b)(2-c)(2-d)$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
6. กำหนด $a,b,c,x,y$ และ $z$ ซึ่ง $a=\dfrac{b+c}{x-3}$ $b=\dfrac{c+a}{y-3}$ และ $c=\dfrac{a+b}{z-3}$
ถ้า $x+y+z=706$ และ $xy+yz+zx=16$ ค่าของ $xyz$ เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
7. วงกลมรัศมี 999 หน่วย จุด A เป็นจุดภายนอก AB และ AD เป็นเส้นสัมผัสวงกลม
ต่อ AB ถึง C ทำให้ AB=BC=2553 หน่วย จุด P เป็นจุดแบ่งครึ่ง AB
จุด Q เป็นจุดบน AC ทำให้ DQ แบ่งครึ่ง มุม CDP
ถ้า CQ ยาว $\frac{a}{b}$ หน่วย โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าน้อยสุดของ $a+b$ เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
8. กำหนด $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งสอดคล้องกับ $\dfrac{1997}{1998}+\dfrac{1999}{n}=\dfrac{x}{y}$
เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีหรม.เป็น 1 ถ้า $x$ เป็นพหุคูณของ 1000
แล้ว $n-1$ มีค่าน้อยที่สุดเป็นเท่าใด
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
9. กำหนด $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงซึ่งทำให้ $$a+\frac{1}{b}+13=b+\frac{1}{c}+10=c+\frac{1}{a}-4=15$$ ถ้าค่ามากสุดของ $abc=x+y\sqrt{z}$ เมื่อ $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าน้อยสุดของ $x+y+z$ เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
10. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 1287 หน่วย
P,Q,R และ S เป็นจุดบน AB , BC , CD และ DA ตามลำดับ
ทำให้ AP:PB=1:1 , BQ:QC=1:2 , CR:RD=1:3 และ DS:SA=1:4
จงหาพื้นที่ส่วนที่ถูกปิดล้อมด้วย AQ,BR,CS และ DP
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
11. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC มี AB=AC มุม BAC กาง 20 องศา
D เป็นจุดบน AB ทำให้มุมBDC กาง 30 องศา
ถ้า BC ยาว 1009 หน่วยแล้ว AD ยาวเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
12. วงกลมรัศมี 2553 หน่วยมีจุดศูนย์กลางที่ (222,1126)
$A_1,A_2,A_3$ และ $A_4$ เป็นพื้นที่ของวงกลมในจตุภาคที่ 1 ,2,3 และ 4 ตามลำดับ
ค่าของ $A_1-A_2+A_3-A_4$ เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
13. กำหนด $a,b$ และ $c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-222x^2+502x-99123=0$
ให้ $S=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$ ค่าของ $S^4-888S^2-888S+888$ เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
ตอนที่ 2: จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด
แต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 5 คะแนน
1. ทรงเหลี่ยมสี่หน้า ABCD มี AB=CD=a หน่วย AD=BC=b หน่วย และ AC=BD=c หน่วย
จงหาสูงตรงของทรงเหลี่ยมสี่หน้านี้ในรูปของ a,b และ c
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
2. กำหนด $a,b,c$ และ $d$ เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ$$\begin{eqnarray}
8a^2-3b^2+5c^2+16d^2-10ab+42cd+18a+22b-2c-54d&=&42\\
15a^2-3b^2+21c^2-5d^2+4ab+32cd-28a+14b-54c-52d&=&-22\\
\end{eqnarray}$$ถ้า $a+b+c+d=\frac{p}{q}$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าน้อยสุดของ $p+q$ เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
3. ABC เป็นสามเหลี่ยมมีมุม ACB กาง 90 องศา H เป็นจุดบน AB ทำให้ CH เป็นเส้นส่วนสูง
วงกลมแนบในสัมผัส AC และ BC ที่ P และ Q ตามลำดับ ถ้า HP ตั้งฉากกับ AQ
ค่าของ $\frac{AH}{BH}$ เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
4. รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีมุม BAC กาง 10 องศา มุม BCA กาง 30 องศา มุม BDA กาง 50 องศา
และมุม BDC กาง 20 องศา ขนาดของมุม CAD เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
5. สามเหลี่ยม ABC Pเป็นจุดภายในทำให้
มุม PAC , PAB , PBA และ PCA กาง 18 , 24 ,27 และ 57 องศาตามลำดับ
ขนาดของ มุม CBP เป็นเท่าไร
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
คำสั่ง: จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด
โจทย์ทุกข้อ คะแนนเต็มข้อละ 5 คะแนน
1. จากรูปจงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา โดยสี่เหลี่ยมคางหมูถูกแบ่งส่วนสูงเป็น5ส่วน เท่าๆกันดังรูป
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
2. จากรูปเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเกิดจากการนำสี่เหลี่ยมผืนผ้าย่อยๆ ที่มีลักษณะเท่ากันทุกประการ 8 รูปมาประกอบกัน
ถ้าสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปใหญ่มีพื้นที่ 9720 ตร.หน่วย จงหาความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปใหญ่นี้
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
3. มีลูกแก้วอยู่ 10 ลูก น้องอุลตร้าสามารถเลือกเก็บลูกแก้วโดยจะเก็บได้ครั้งละ 1 ลูกหรือ 2 ลูกก็ได้
จะมีวิธีที่น้องอุลตร้าเลือกเก็บลูกแก้วได้ทั้งหมดกี่วิธี
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)
4. กำหนดลำดับ $0,5,20,51,x,185,300,455,y,909,1220,z,\dots$ จงหาค่าของ $x^2-2y+z$
(เสนอโดยคุณ SolitudE)
5. จงหาค่า $n$ จากสมการ $$\frac{1}{1\times5} + \frac{1}{5\times9} + \frac{1}{9\times13} + ... + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = 0.244444...$$
(เสนอโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง)
6. มีห้องอยู่ 2010 ห้องเรียงกันเป็นแถวยาว ห้องที่ติดกันจะมีประตูเปิดถึงกัน
มีลิงตัวหนึ่งอยู่ในห้องใดห้องหนึ่งในตอนกลางวัน ในแต่ละวันคุณสามารถเลือกห้องเพื่อค้นหาลิงได้สองห้อง
และในตอนกลางคืน ลิงจะย้ายไปอยู่ในห้องที่ติดกับห้องเดิมที่มันอยู่ทุกคืน
จงหาจำนวนวันที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้สามารถยืนยันได้ว่าจะหาลิงพบได้แน่นอน
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
Edit log #1: Readability issue fixed.
Edit log #2: แก้โจทย์ข้อ 6 ประัถม
Edit log #3: แก้โจทย์ข้อ 7 ตอนที่ 1 มัธยม