[Beatmania]

วันนี้เรียน FE ใช่มั้ยครับ จัดไปครับ

1.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า

ถ้าหาก $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มที่ $a+b+c=0$ แล้วเราจะได้ว่า

$$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$$

(IMO 2012 #4)

2.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่

$$f(f(m)+n)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014$$

สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m,n$ (ISL 2014 A4)

3.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่

$$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$

สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ (IMO 2015 #5)

4.) จงหาฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า

$$f^{g(n)+1}(n)+g^{f(n)}(n)=f(n+1)-g(n+1)+1$$

สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ (ในที่นี้ $f^k(n)$ หมายถึงฟังก์ชันซ้อนกับ $k$ ตัว) (ISL 2011 A4)

5.) ให้ $S$ เป็นสับเซตของจำนวนจริง เราจะกล่าวว่าฟังก์ชัน $f,g:S\rightarrow S$ ว่าเป็น "คู่หู"

ถ้าหากสอดคล้องกันสองเงื่อนไขต่อไปนี้

1.) $f(x)<f(y),g(x)<g(y)$ เมื่อ $x,y\in S$ และ $x<y$

2.) $f(g(g(x)))<g(f(x))$ เมื่อ $x\in S$

จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชันที่เป็นคู่หูหรือไม่เมื่อ

1.) $S=\mathbb{N}$

2.) $S=\left\{a-\frac{1}{b}|a,b\in\mathbb{N}\right\} $ (ISL 2008 A3)