3. สมมติว่า $(ab)^k=e$
รู้ว่า $ab=ba$ ดังนั้น $(ab)^k=abab...ab=a^kb^k$
จึงได้ $a^kb^k=e$
ยกกำลัง $m$ ทั้งสองข้าง $(a^kb^k)^m=e$
ได้ $a^kb^ka^kb^k...a^kb^k=e$ นั่นคือ $a^{km}b^{km}=e$
เนื่องจาก $a^m=e$ ได้ $b^{km}=e$
เพราะฉะนั้น $n|km$ แต่ $(m,n)=1$ ดังนั้น $n|k$
ในทำนองเดียวกัน จะได้่ $m|k$
ดังนั้น $mn|k$ ซึ่งแปลว่า $k\ge mn$
สุดท้ายแสดงว่า $(ab)^{mn}=e$ ก็จบแล้วครับ
|