โดยปกติการหารเศษจากการหารพหุนาม 2 พหุนามหาได้โดยวิธีตั้งหารพหุนามและใช้ทฤษฎีเศษเหลือครับ เช่น $x^{2}-5x+1$ หารด้วย $x-2$ หาโดยวิธีตั้งหารพหุนามได้ดังนี้
หรือถ้าใช้ทฤษฎีเศษเหลือก็หาเศษได้จากการแทน $x=2$ ลงในพหุนามตัวหารจะได้ เศษเท่ากับ $2^{2}-5(2)+1=-5$
ปัญหาก็คือแม้ว่าวิธีตั้งหารพหุนาม ใช้ได้กับทุกพหุนามไม่ว่าพหุนามตัวหารและพหุนามตัวตั้งจะมีดีกรีเป็นเท่าไรก็ตาม แต่วิธีนี้ก็ค่อนข้างตรงไปตรงมาและใช้เวลามากไปสักนิด ส่วนวิธีทฤษฎีเศษเหลือเท่าที่รู้ก็จะใช้ในกรณีที่พหุนามตัวหารเป็นดีกรี 1 เช่น $x-2,x+1$ เป็นต้น
ผมจึงอยากเสนอทางเลือกในการวิเคราะห์สำหรับใช้ในการทำข้อสอบ ขอเสนอเทคนิควิธีการหาเศษจากการหารพหุนามด้วยวิธีเชิงเรขาคณิตครับ
----------------------------------------------------------------------------
กรณีที่ 1 ----พหุนามตัวหารดีกรี 1-----การหาเศษจากการหารพหุนาม $f(x)$ ด้วย $x-p$
ถ้าให้ผลหารเป็นพหุนาม $p(x)$ และเศษเป็นพหุนาม $r(x)$
พหุนามเศษ $r(x)$ จะหาได้จากสมการเส้นตรง $y=r(x)$ ซึ่งมีคุณสมบัติเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน $x$ และผ่านจุด $(p,f(p))$ ดังรูป ซึ่งก็คือ $r(x)=f(p)$
----------------------------------------------------------------------------
กรณีที่ 2 ----พหุนามตัวหารดีกรี 2-----การหาเศษจากการหารพหุนาม $f(x)$ ด้วย $(x-p)(x-q)$
ถ้าให้ผลหารเป็นพหุนาม $p(x)$ และเศษเป็นพหุนาม $r(x)$
พหุนามเศษ $r(x)$ จะหาได้จากสมการเส้นตรง $y=r(x)$ ซึ่งมีคุณสมบัติเป็นเส้นตรงผ่านจุด $(p,f(p))$ และ $(q,f(q))$ ดังรูป
-----------------------------------------------------------------------------
กรณีที่ 3 ----พหุนามตัวหารดีกรี 3-----การหาเศษจากการหารพหุนาม $f(x)$ ด้วย $(x-p)(x-q)(x-r)$
ถ้าให้ผลหารเป็นพหุนาม $p(x)$ และเศษเป็นพหุนาม $r(x)$
พหุนามเศษ $r(x)$ จะหาได้จากสมการพาราโบลาหรือสมการเส้นตรง $y=r(x)$ ซึ่งมีคุณสมบัติเป็นพาราโบลาหรือเส้นตรงที่ผ่านจุด $(p,f(p)),(q,(f(q))$ และ $(r,f(r))$
คือถ้าจุดทั้ง 3 เรียงกันเป็นเส้นตรง สมการเศษ$y=r(x)$ จะเป็นสมการเส้นตรง ดังรูป
และถ้าจุดทั้ง 3 เรียงกันเป็นสามเหลี่ยม สมการเศษ$y=r(x)$ จะเป็นสมการพาราโบลา ดังรูป
ตัวอย่างจากโจทย์ หาร $f(x)$ ด้วย $(x-1)(x-2)(x-3)$ จุด $(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3))=(1,1),(2,2),(3,3)$ ตามลำดับ ซึ่งจุดทั้งสามเรียงกันเป็นเส้นตรง สมการเศษพหุนามคือ สมการเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสาม ซึ่งก็คือ $y=x$ เพราะฉะนั้นเศษเท่ากับ $x$