[กิตติ]

วิธีปกติ ยาวเนาะ
$z^3=8i=8(0+i)=8(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}) $
$z=2(\cos ( \frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi}{3} )+i\sin ( \frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi}{3} ))$
$=2(\cos ( \frac{(4k+1)\pi}{6} )+i\sin ( \frac{(4k+1)\pi}{6}))$ เมื่อ $k=0,1,2$
$=a+bi,a<0,b>0$
แสดงว่า $\cos \theta <0, \sin \theta >0$ เป็นมุมในควอรันต์ที่ $2$
$\theta =\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2} $
เลือก $\theta =\frac{5\pi}{6}$

$z=2(\cos ( \frac{5\pi}{6} )+i\sin ( \frac{5\pi}{6}))$
$=2(-\cos ( \frac{\pi}{6} )+i\sin ( \frac{\pi}{6}))$
$=2(-\frac{\sqrt{3} }{2})+\frac{i}{2} $
$=-\sqrt{3}+i $

$\overline{z} =-\sqrt{3}-i$
$z^{-1}=\frac{1}{-\sqrt{3}+i} =-\frac{\sqrt{3} }{4}-\frac{i}{4} $

$3\overline{z}-2z^{-1}=3(-\sqrt{3}-i)-2(-\frac{\sqrt{3} }{4}-\frac{i}{4})$
$=\sqrt{3}(-\frac{5}{2})+i (-\frac{5}{2}) $
$=(-\frac{5}{2})(\sqrt{3}+i)$

$\left|\,3\overline{z}-2z^{-1}\right| =\left|\,(-\frac{5}{2})(\sqrt{3}+i)\right| $
$=\left|\,-\frac{5}{2}\right| \times \left|\,\sqrt{3}+i\right| $
$=5$