อีกสามวิชาสอบพรุ่งนี้ครับ ขอเฉลยหรือ hint พีชคณิตข้อ 4 ด้วยครับ
1. รูปห้าเหลี่ยม $ABCDE$ เป็นห้าเหลี่ยมนูนใดๆ ให้ $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$ เป็นจุดบนด้าน $CD,DE,EA,AB,BC$ โดยที่ $AA_1,BB_1,CC_1,DD_1,EE_1$ ตัดกันที่จุด $P$
จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{AD_1}{D_1B}\frac{BE_1}{E_1C}\frac{CA_1}{A_1D}\frac{DB_1}{B_1E}\frac{EC_1}{C_1A}=1$$ (12 คะแนน)
2. สี่เหลี่ยม $ABCD$ มีวงกลมล้อมรอบ และมี $AC$ แบ่งครึ่ง $B\hat AD$ จงพิสูจน์ว่า
$$AC\times BD=AD\times BC+AB\times CD$$
(Special case of Ptolemy theorem) (8 คะแนน)
นิยาม ใน $\Delta ABC$ มี $A_1,A_2$ อยู่บนด้าน $BC$ จะเรียก $AA_1$ ว่าเป็น isotomic line ของ $AA_2$ ก็ต่อเมื่อ $A_1,A_2$ ห่างจากจุดกึ่งกลางของ $BC$ เป็นระยะทางเท่ากัน
3.1. ให้ $\Delta ABC$ มี $A_1,B_1,C_1$ เป็นจุดบนด้าน $BC,CA,AB$ ตามลำดับและให้ $AA_2,BB_2,CC_2$ เป็น isotomic line ของ $AA_1,BB_1,CC_1$ ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่าถ้า $AA_1,BB_1,CC_1$ ตัดกันที่จุดเดียวแล้ว $AA_2,BB_2,CC_2$ ตัดกันที่จุดเดียว (10 คะแนน)
3.2 ให้วงกลมแนบใน $\Delta ABC$ สัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $A_1,B_1,C_1$ ตามลำดับ และวงกลมแนบนอกที่ตรงข้ามกับ $A,B,C$ สัมผัส $BC,CA,AB$ ที่ $A_2,B_2,C_2$ ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า $AA_2,BB_2,CC_2$ เป็น isotomic line ของ $AA_1,BB_1,CC_1$ ตามลำดับ และ $AA_2,BB_2,CC_2$ ตัดกันที่จุดเดียว (เรียกว่า Nagel Point) (10 คะแนน)
4. สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส $DEIJ, EFHG, DFML$ บน $\Delta DEF$ ต่อ $IJ$ ตัดกับส่วนต่อของ $LM$ ที่ $B$ ต่อ $GH$ ตัดส่วนต่อของ $LM$ ที่ $A$ และต่อ $IJ$ ตัดส่วนต่อของ $GH$ ที่ $C$
จงพิสูจน์ว่า $AF,BD,CE$ เป็นเส้น symmedian ของ $\Delta DEF$ และจุด lemoine ของ $\Delta ABC$ กับจุด lemoine ของ $\Delta DEF$ เป็นจุดเดียวกัน (10 คะแนน)
1. ถ้ารากรากหนึ่งของ $x^5+7x^4+10x^3-13x^2-19x-22=0$ คือ $\rm{cis}\dfrac{2\pi}{3}$ จงหารากอีก 4 ตัวที่เหลือ (10 คะแนน)
2. จงหาค่าของ
$$\left(\frac{1+\sin\dfrac{\pi}{2559}+i\cos\dfrac{\pi}{2559}}{1+\sin\dfrac{\pi}{2559}-i\cos\dfrac{\pi}{2559}}\right)^{2559}$$ (12 คะแนน)
3. จงแสดงว่า $x^2+x+1\mid (x+1)^{2n+1}+x^{n+2}\quad\forall n \in\mathbb{N}$ (12 คะแนน)
4. จงแสดงว่า
$$\cot^2\dfrac{\pi}{21}+\cot^2\dfrac{2\pi}{21}+\cot^2\dfrac{3\pi}{21}+...+\cot^2\dfrac{10\pi}{21}=\dfrac{190}{3}$$
(16 คะแนน)