มาเพิ่มข้อสอบครับ (ข้อละ 10 คะแนน ทั้งหมด)
1. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $$(x-2)f(y) + f(y+2f(x)) = f(x+yf(x)) \qquad ทุก \quad x,y \in \mathbb{R} $$
2. จงหาฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{R} ^+\rightarrow \mathbb{R} ^+$ ทั้งหมด โดยที่ $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และสอดคล้องกับสมการ $$f(f(x)+2g(x)+3f(y)) = g(x)+2f(x)+3g(y)$$ $$g(f(x)+y+g(y)) = 2x-g(x)+f(y)+y$$ ทุก $x,y \in \mathbb{R} ^+$
3. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับสมการ $$f(x)f(y)+f(x+y) = xy \qquad ทุก \quad x,y \in \mathbb{R} $$
4. จงหาฟังก์ชัน $f:[1,\infty )\rightarrow [1,\infty )$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้อง
$\qquad (i) \quad f(x) \leqslant 2(1+x)$ ทุก $x \in [1,\infty )$
$\qquad (ii) \quad xf(x+1) = f(x)^2-1$ ทุก $x \in [1,\infty )$
5. จงพิสูจน์ว่า ไม่มีฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} ^+\rightarrow \mathbb{R} ^+$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $$f(x)^2 \geqslant f(x+y)(f(x)+y) \qquad ทุก \quad x,y \in \mathbb{R} ^+$$
1. จงหาจำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว 10 ตัวอักษรจาก M,A,T,H,S โดยที่ มี M เป็นจำนวนคี่ตัว และมี T เป็นจำนวนคู่ตัว
2. จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก 13 จำนวนที่มีค่าไม่เกิน 189 จะต้องมีสามจำนวน เรียกว่า $x,y,z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $1 < \dfrac{x}{y} \leqslant 2$ และ $1 < \dfrac{y}{z} \leqslant 2$
3. นักเรียนคนหนึ่งแก้ปัญหาการนับได้ 32 ข้อในเวลา 8 วัน
จงแสดงว่า มีช่วงเวลา 2 วันติดกันที่เขาแก้ปัญหาได้อย่างน้อย 8 ข้อ
4. ตั๋วรถเมล์เป็นเลข 8 หลักตั้งแต่ 00000000 ถึง 99999999
$\qquad$ ตั๋วเทวดา คือ ตั๋วที่มีผลบวกของเลขโดดในหลักที่ $i$ และ $i+1$ เท่ากันทุกๆ $i=1,3,5,7$ (เช่น 16075225)
$\qquad$ ตั๋วนางฟ้า คือ ตั๋วที่มีผลบวกของเลขโดดทุกตัวเป็น 36
จงแสดงว่า มีตั๋วนางฟ้ามากกว่าตั๋วเทวดา
5. ในกล่องมีสลาก 256 ใบซึ่งเขียนสับเซตของ $\{1,2,3,...,8\}$ ใบละ 1 สับเซตซึ่งต่างกันหมด โดยแต่ละใบจะมีแต้มเท่ากับผลต่างของค่ามากสุดและค่าน้อยสุดในเซตนั้น (แต้มของเซตว่าง หรือ เซตที่มีสมาชิก 1 ตัว จะมีค่าเป็น 0) เช่น $\{1,3,6\}$ มีแต้มเท่ากับ 5
$\qquad$ ณเดชและญาญ่าผลัดกันสุ่มหยิบสลากในกล่องจนได้คนละ 128 ใบ
$\qquad$ จงแสดงว่า เมื่อแต่ละคนหาผลบวกของแต้มของสลากทั้งหมดของตนแล้ว ณเดชจะได้แต้มอย่างน้อย $555$ แต้ม หรือ ญาญ่าจะได้แต้มอย่างน้อย $735$ แต้ม
1. ให้ $a,b \in \mathbb{Z} , n \in \mathbb{N} $ และ $d = (a,n)$ ซึ่ง $d\mid b$ จงแสดงว่าสมภาคเชิงเส้น $ax \equiv b \pmod{n} $ มีคำตอบอยู่ $d$ คำตอบที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล $n$ และคำตอบเหล่านั้นคือ $$x \equiv x_0+\dfrac{n}{d}t \pmod{n} \quad เมื่อ \quad t = 0,1,2,...,d-1$$ โดยที่ $x_0$ คือคำตอบหนึ่งของสมภาค $\dfrac{a}{d} x \equiv \dfrac{b}{d} \pmod{\dfrac{n}{d} } $
2. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่ง $p>17$ จงหาคำตอบทั้งหมดของสมภาคเชิงเส้น $$p^{32}\cdot 11x \equiv 2016 \pmod{16320} $$
3. จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก $m$ และ $n$ ซึ่ง $(m,n) = 1$ ที่ทำให้ $$7(25\cdot 59)^m + 2\cdot 25^n \equiv 5\cdot 59^n \pmod{2559}$$
4. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $$\sum_{i = 0}^{99}(n+i)^8 + 2^{2^{2016}}+1 \quad ด้วย \quad 100$$
5. จงหาคู่ลำดับทั้งหมดของ $(m,n)$ เมื่อ $m,n \in \mathbb{N} $ ที่สอดคล้องกับ $$m^4+n^2 \equiv 0 \pmod{7^m-3^n}$$