ข้อ 5 อีกวิธีจากเว็บ imomath.com
สามารถพิสูจน์ได้ง่ายมากว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดโดยแท้
ตรึง $x\in\mathbb{R}$ เลือก $n\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $n\geq\dfrac{1}{f(x+1)}$
จาก $f(x)^2\geq f(x+y)(f(x)+y)$ จัดรูปเป็น $f(x)-f(x+y)\geq\dfrac{yf(x)}{f(x)+y}$
นั่นคือ $f\left(x+\dfrac kn\right)-f\left(x+\dfrac{k+1}n\right)\geq\dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)\cdot\dfrac 1n}{f\left(x+\dfrac kn\right)+\dfrac 1n}\geq \dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+1} $
จาก $n\geq\dfrac{1}{f(x+1)}$ เพราะฉะนั้น $f\left(x+\dfrac kn\right)\geq f(x+1)\geq \dfrac 1n$
นั่นคือ $1\leq f\left(x+\dfrac kn\right)$ ทำให้ $f\left(x+\dfrac kn\right)-f\left(x+\dfrac{k+1}n\right)\geq \dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+1}\geq\dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+n f\left(x+\dfrac kn\right)}=\dfrac{1}{2n}$
สามารถพิสูจน์ต่อเองได้ว่า $f(x)-f(x+1)\geq \dfrac 12$ ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง
|