หากต้องการให้ x ^ y = y ^ x ลองพิจารณาขั้นตอนนี้ดู
x ^ y
= x ^ (x z) , z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ y = x z ----(1)
= (x ^ z) ^ x
= y ^ x , นอกจากนี้ z ยังทำให้ x ^ z = y ----(2)

จาก (1) และ (2) จะได้ว่า
x ^ z = x z
x ^ (z - 1) = z ----(3)
x = z ^ (1 / (z - 1)) ----(4)
นั่นคือ x จะเป็นรากที่ z - 1 ของ z

พิจารณาค่า z ที่เป็นไปได้
ที่ z = 1 จะได้ x = จำนวนเต็มบวกใดๆ และ y = x (จาก (3) และ (1))
ที่ z = 2 จะได้ x = 2 และ y = 4 (จาก (3) และ (1))
ที่ z >= 3 จากการพิจารณาฟังก์ชัน (4) คือ z ^ (1 / (z - 1)) จะพบว่า เป็นฟังก์ชันลด จึงเหลือค่าฟังก์ชัน(หรือค่า x ) ที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ x = 1 จึงได้ว่า z = 1 และ y = 1 (จาก (3) และ (1))

เนื่องจากต้องการให้ x + y <= 2000 จึงได้ว่า x และ y ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าวคือ
1. x = y = จำนวนเต็มบวกใดๆที่ไม่เกิน 1000
2. x = 2 และ y = 4

ปล. ไม่รู้ว่ามีวิธีคิดแบบอื่นหรือเปล่านะ ถ้าใครคิดได้บอกๆกันไว้ ก็ดีครับ