ดูหนึ่งข้อความ
  #9  
Old 24 พฤษภาคม 2015, 19:33
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
Algebra ข้อ 1 ผมเห็นแต่วิธีถึกๆ ทั้งนั้น ก็เลยมาเสนอวิธีง่ายๆ ให้

แทน $a=\dfrac{y-z}{x},\ b=\dfrac{z-x}{y},\ c=\dfrac{x-y}{z}$

ให้ $P(x, y, z)=xyz(\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}+\dfrac{x-y}{z})=xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)$

สังเกตว่า ถ้า $x=y$ แล้ว $P(x, y, z)=0$ นั่นคือ P(x, y, z) มี $x-y$ เป็นตัวประกอบ และโดยความสมมาตร จะได้ว่า $y-z$ และ $z-x$ ต้องเป็นตัวประกอบด้วย

ดังนั้น $P(x, y, z)=K(x-y)(y-z)(z-x)$ และจากการแทนค่าจะได้ว่า $K=-1$

ดังนั้น เราจะเห็นว่า $a+b+c=-abc$

ทำให้ $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=-1$

เพราะฉะนั้น $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=2557^2+2$
ผมมีวิธีง่ายกว่านั้นครับ ให้ $a=\dfrac{x}{y-z} \quad ,b=...,\quad c=... $

$(a-1)(b-1)(c-1)=(a+1)(b+1)(c+1)$

$ab+bc+ca=-1$
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้