อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ alongkorn:
3. ให้ $a_1 = 1$ และ $a_{n+1} = \sqrt{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}$ จงแสดงว่า $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}$
|
ข้อนี้ยากจังเลยครับ วิธีที่ผมทำคงไม่ตรงกับเฉลย ยังไงคุณ alongkorn ช่วยมาเฉลยให้ด้วยนะครับ
เมื่อ $n\ge2$ เราจะได้ว่า $$a_{n+1} = \sqrt{(a_1 +a_2+ \dots +a_{n-1}) +a_n} = \sqrt{a_n^2 +a_n}$$ แสดงว่า $$ a_{n+1} -a_n= \frac{1}{1+ \sqrt{1+ \displaystyle{\frac{1}{a_n} } }}\,, \quad n\ge2 $$ โดย induction เราจะพบว่า $a_n \ge1$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ ดังนั้น $$ a_{n+1} -a_n \ge \frac{1}{1+ \sqrt2 }\,, \quad n\ge2 $$ นั่นทำให้เรารู้ว่า $$ \lim_{n\to\infty} a_n= \infty$$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} a_{n+1} -a_n= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+ \sqrt{1+ \displaystyle{\frac{1}{a_n} } }} = \frac12 $$ แสดงว่า สำหรับจำนวนจริง $\epsilon >0$ ใดๆ จะต้องมีจำนวนเต็มบวก $N$ ที่ทำให้ เมื่อ $n\ge N$ แล้ว $$ \left| a_{n+1} -a_n -\frac12 \right| < \frac{\epsilon }{2}$$ ดังนั้น สำหรับ $k\ge1$ $$ \left| a_{N+k} -a_N- \frac k2 \right| $$ $$= \left| (a_{N+k}- a_{N+k-1}- \frac12) +\cdots+ (a_{N+2}- a_{N+1}- \frac12)+ (a_{N+1} -a_N- \frac12) \right| $$ $$\le \left| a_{N+k}- a_{N+k-1}- \frac12 \right| +\cdots+ \left| a_{N+2}- a_{N+1}- \frac12 \right| + \left| a_{N+1} -a_N- \frac12 \right| $$ $$< \frac{\epsilon }{2} +\cdots+ \frac{\epsilon }{2} + \frac{\epsilon }{2} = \frac{k \epsilon}{2} $$ นั่นคือ ถ้า $n>N$ แล้ว $$ \left| a_n- a_N- \frac{(n-N)}{2} \right| < \frac{(n-N) \epsilon}{2} < \frac{n \epsilon}{2} $$ เราจึงได้ว่า เมื่อ $n>N$ $$ \left| \frac{a_n}{n} -\frac12 \right| - \left| \frac{2a_N -N}{2n} \right| \le \left| \left( \frac{a_n}{n} -\frac12 \right) - \frac{2a_N -N}{2n} \right| < \frac{\epsilon }{2} $$ เนื่องจาก $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2a_N -N}{2n} =0$$ ดังนั้นจึงมีจำนวนเต็มบวก $N_1$ ที่ทำให้ เมื่อ $n>N_1$ แล้ว $$ \left| \frac{2a_N -N}{2n} \right| < \frac{\epsilon }{2}$$ ดังนั้นเมื่อ $n>N_2 := \max(N, N_1)$ แล้ว $$ \left| \frac{a_n}{n} -\frac12 \right| < \frac{\epsilon }{2} + \left| \frac{2a_N -N}{2n} \right| < \frac{\epsilon }{2} + \frac{\epsilon }{2} = \epsilon $$ เราจึงได้ว่า $$\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{n} =\frac12 $$ ตามต้องการครับผม
