อสมการโคชี-ชวาร์ช (Cauchy-Schwarz inequality)
$x_1,x_2,...,x_n, y_1,y_2,...,y_n \in \mathbb{R}$ จะได้ว่า \[\mid x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \mid \leq \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}\cdot \sqrt{y_1^2+y_2^2+...+y_n^2} \]
ความหมายเชิงเรขาคณิต ของอสมการนี้ คือ ถ้าให้ เวกเตอร์ $x = (x_1,x_2,...,x_n), y=(y_1,y_2,...,y_n)$ จะได้ว่า ผลคูณแบบดอทของสองเวกเตอร์จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ทั้งสอง \[ \mid x\cdot y \mid \leq \|x\| \|y\|\]
การพิสูจน์อสมการนี้ผมขอแสดงวิธีที่น่าสนใจ (ที่เคยเห็นมา) คือใช้ Discriminant ของฟังก์ชัน ดังนี้
นิยาม \[ F(t)=(x_1+ty_1)^2+(x_2+ty_2)^2 +...+(x_n+ty_n)^2\]
ซึ่งจะเห็นว่า $F(t)\geq 0$ ทุกค่า $t\in \mathbb{R}$ ต่อไปทำการกระจายกำลังสองสมบูรณ์ จะได้
\[ F(t)= A+2Bt+Ct^2\]
โดยที่ $A=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2,\;\; B=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n,\;\; C=y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$
ซึ่งเงื่อนไข $F(t)\geq 0$ เป็นจริงได้เมื่อ $(2B)^2-4AC \leq 0$ ซึ่งทำให้ได้อสมการที่ต้องการ
ตัวอย่าง : จงแสดงว่า $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \leq \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}$
(เทอมขวามือเราเรียกว่า Root Mean Square ย่อว่า RMS ครับสำหรับคนเรียนฟิสิกส์น่าจะเคยได้ยิน)
จะได้ว่า $a_1\cdot 1 + a_2\cdot 1+...+a_n \cdot 1 \leq \sqrt{n}\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz
คูณด้วย $\frac{1}{n}$ ทั้งสองข้างจะได้อสมการที่ต้องการ
จากตัวอย่างนี้ทำให้เราได้อสมการพื้นฐานเพิ่มครับเอาไว้ใช้อ้างอิงต่อไปได้ RMS $\geq$ AM $\geq$ GM $\geq$ HM
ตัวอย่าง : จงหาค่าสูงสุดของ $a\cos \theta +b\sin \theta,\;\; \theta \in \mathbb{R}$
ใช้อสมการ Cauchy-Schwarz จะได้ว่า \[ a\cos \theta +b\sin \theta \leq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\cos^2\theta +\sin ^2\theta} = \sqrt{a^2+b^2} \] ดังนั้นค่าสูงสุดของ $a\cos \theta +b\sin \theta$ คือ $\sqrt{a^2+b^2}$
ตัวอย่าง : จงแสดงว่า $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ โดยใช้อสมการ Cauchy-Schwarz
: ใช้อสมการโคชี \[(a,b,c)\cdot (b,c,a) = ab+bc+ca \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2+a^2}\]
หมายเหตุ : ตัวอย่างนี้สามารถแสดงได้โดยง่ายโดยการใช้ AM-GM inequality (ลองทำดู)
แบบฝึกหัด :
ให้ $x_1,x_2,x_3$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่า
\[(\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{6}x_3)^2 \leq \frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{3}x_2^2+\frac{1}{6}x_3^2\]
ให้ $x_1,x_2,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $y_1,y_2,...,y_n$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนชุดหนึ่งของ $x_1,x_2,...,x_n$
จงแสดงว่า \[ \frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+...+\frac{x_n^2}{y_n} \geq x_1+x_2+...+x_n\]
จงหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของ $2x+3y-6z$ เมื่อ $x,y,z\in \mathbb{R}$ ที่สองคล้องกับสมการ $x^2+y^2+z^2=1$
จากอสมการของโคชี จะทำให้เราได้
อสมการสามเหลี่ยม ดังนี้
ให้ $x_i,y_i \in \mathbb{R}$ สำหรับทุก $i = 1,2,...,n$ จะได้ว่า
\[ \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_i+y_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_i^2}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_i^2}\]
เนื่องจาก \[ \sum_{k=1}^{n}(x_i+y_i)^2 = \sum_{k=1}^{n}x_i^2+\sum_{k=1}^{n}x_iy_i+\sum_{k=1}^{n}y_i^2\]
ใช้อสมการโคชีกับเทอมตรงกลางจะได้
\[ \sum_{k=1}^{n}(x_i+y_i)^2 \leq \sum_{k=1}^{n}x_i^2+2\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_i^2}+\sum_{k=1}^{n}y_i^2\]
ซึ่งฝั่งขวามือทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์และถอดรากที่สองทั้งสองข้างจะได้อสมการที่ต้องการ