ข้อ 9
จะพิสูจน์ 2 อย่างคือ
(i) $ a_n ^2 \geq 2 \quad (n \geq 1) $
(ii) $ a_n-a_{n+1} \geq 0 \quad (n \geq 1)$
ซึ่งเพียงพอจะแสดง existence of limit
(i) $ a_{n} = \frac{1}{2} \left( a_{n-1}+\frac{2}{a_{n-1}}\right) \geq \frac{1}{2} \left( 2\sqrt{2}\right) =\sqrt{2} \quad (n \geq 1)$
(ii) ใช้ผลจาก (i)
ถ้า $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L $ ดังนั้น $ L= \frac{1}{2}\left(L+\frac{2}{L}\right ) \Rightarrow L =\sqrt{2} $
NOTE : เราสามารถ generalize เพื่อสร้าง recurrence relation ในการหา $ \sqrt{c} $ ได้เป็น
$ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n+\frac{c}{a_n}\right) $
ต่อด้วย ข้อ 11.
ไม่อยากแปล เดี๋ยวจะงงกว่าเดิม
Let $ S_n $ be sum of products of the first n natural numbers, taken two at a time
Evaluate $$ \frac{2}{3!}+\frac{11}{4!}+\cdots \frac{S_{n-1}}{n!}+\cdots $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|