[James007]

1.$\sqrt[64]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\ldots(2^{64}+1)+1}$
$=\sqrt[64]{(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\ldots(2^{64}+1)+1}$
$=\sqrt[64]{(2^{128}-1)+1}$
$=\sqrt[64]{2^{128}}=2^2=4$
2.ตอบ $\underbrace{333\ldots333}_{2001}$
3.จาก $3^x=12^z$ จะได้ $3=12^\frac{z}{x}\ldots (1)$
ในทำนองเดียวกัน $4=12^\frac{z}{y}\ldots (2)$
$(1)\times (2); 12=12^{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}}$
$\therefore \frac{z}{x}+\frac{z}{y}=1$
4.เนื่องจาก $3^c+1$ เป็นจำนวนคู่เสมอ (เมื่อ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ)
ดังนั้น $2^a+1$ หรือ $4^b+1$ ต้องเป็นจำนวนคู่
โดยเงื่อนไขของโจทย์ จะได้ว่า $a=0,b=1,c=2$ หรือ $a=1,b=0,c=2$
$\therefore a+b+c=3$
5.$3^{33}=9^{16}\cdot 3 \equiv (-1)^{16}\cdot 3 \equiv (1)\cdot 3\equiv3\pmod{10}$
ดังนั้น หลักหน่วยของ $3^{33}$ คือ $3$