[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

กรณี $f(0)=0$ จะได้โดยง่ายว่า $f(f(x))=f(x)$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ไม่มี $a\not=0$ ที่ $f(a)=0\rightarrow f(1)\not=0$
พบว่า เเทน $x,y$ ด้วย $f(y)-x,x$ ตามลำดับได้ว่า
$$f(f(y)-x+f(y))+f(x(f(y)-x))=2f(y)-x+xf(f(y)-x)$$
จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x+y)-x$ ในสมการข้างบน เเละบวกด้วย $f(xy)+yf(x)$ทั้งสองข้าง
$$yf(x)+\Big(f(xy)+f(x+f(x+y))\Big)+f(x(f(x+y)-x))=\Big(x+f(x+y)+yf(x)\Big)+f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$$
ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิมเเละ เเทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ จะได้ว่า $yf(x+y)=f(yf(x+y))$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $yf(x)=f(yf(x))$
จากนั้นเเทน $x,y$ ด้วย $1,\dfrac{y}{f(1)}$ ตามลำดับ จะได้ $f(x)=x$

จริงๆเเล้วผมพบว่ามันผิดนะครับ ต้องขออภัยด้วย
พิสูจน์ได้โดยง่ายจากการเเทน $y=0$ ในสมการเริ่มต้นได้ว่า $f(x+f(x))=x+f(x)$ เเทน $x$ ด้วย $f(x)$ ทำให้ได้ $f(2f(x))=2f(x)$
จากนั้น เเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$$
เเล้ว เเทน $x$ ด้วย $y+f(x)$ ได้ว่า $$2f(x)+f(yf(x))=f(2f(x))+f(yf(x))=2f(x)+yf(x)\rightarrow f(yf(x))=yf(x)$$
จึงได้ $f(x)=x$ ตามต้องการ