[Euler-Fermat]

1. ให้$ A = x+1 , B = x-1$
จะได้ $(x+1)^5+(x+1)^4(x-1)+(x+1)^3(x-1)^2+(x+1)^{2}(x-1)^{3}+(x+1)(x-1)^{4}+(x-1)^{5}=0 : A^5+A^4B+A^3B^2+A^2B^3+AB^4+B^5 = 0$
$A^5+A^4B+A^3B^2+A^2B^3+AB^4+B^5 = 0$
$A^5+B^5+AB(A^3+B^3)+A^2B^2(A+B) = 0$
$(A+B)(A^4+A^2B^2+B^4) = 0$
$(A+B)(A^2-AB+B^2)(A^2+AB+B^2) = 0$
$(A+B)[(A+B)^2-3AB][(A+B)^2-AB] = 0 ........(1)$
$A+B = 2x แทน ใน (1) $
ได้ $(2x)(x^2+3)(3x^2+1) = 0$
$\therefore x = 0 $

2. $ -2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-(-2)^{n}=4^{0}+4^{1}+4^{2}+...+4^{2010} $
จากผลบวกเรขาคณิต
$ -2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-(-2)^{n} = \frac{(-1)[(-2)^{n+1} - 1]}{-3}$
$4^{0}+4^{1}+4^{2}+...+4^{2010} = \frac{1[4^{2011} -1]}{3}$
$\frac{(-1)[(-2)^{n+1} - 1]}{-3} = \frac{1[4^{2011} -1]}{3}$
$(-2)^{n+1} - 1 = 4^{2011} -1 $
$(-2)^{n+1} = 2^{4022} $
$\therefore n = 4021$