[Leng เล้ง]

$\ 1. จงหาจำนวนเฉพาะ\ p\ ทั้งหมด\ ที่ทำให้\ p\ หาร 1^{p-1}+2^{p-1}+...+2017^{p-1}ลงตัว$

$2. กำหนดพหุนาม\ P(x)\ เป็นพหุนามดีกรี\ n\ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม\ โดย\ P(x) =x^n-n(n+1)x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0 ซึ่งมีรากเป็น\ x_1,x_1,...,x_n $
$\ และ\ Q(x) เป็นพหุนามดีกรี\ n\ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม\ โดย\ Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_2x^2-2n(n+1)bx+b\ ซึ่งมีรากเป็น \frac{1}{x^2_1},\frac{2}{x^2_2} ...,\frac{n}{x^2_n}$
$ สมมติ R(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่ง\ R(0)เป็นจำนวนคี่\ และ\ R(1)เป็นจำนวนคู่ $
$ จงพิสูจน์ว่าพหุนาม\ S(x) โดยที่\ S(x)=P(x)-R(x)\ ไม่มีรากเป็นจำนวนเต็ม$

$\ \ 3. กำหนดรูปสามเหลี่ยม\ ABC\ มีวงกลม\omega เป็นวงกลมล้อมรอบ ซึ่งมีจุด\ M\ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน\ BC ต่อ\ AMไปตัดวงกลมอีกครั้งที่\ A' $
$ให้เส้นสัมผัสวงกลมที่\ Aและ\ A' ตัดส่วนต่อของ\ BC ที่\ Xและ\ Y\ ตามลำดับ\ จงพสูจน์ว่า\ MX=MY $

$\ 4.กำหนดเซต S=\left\{1,2,...,50\,\right\} จงหาค่า\ k\ ที่น้อยที่สุด\ ซึ่งทำให้ทุกสับเซต\ S\ ที่มีสมาชิก\ k\ ตัว\ มี\ a,b\ เป็นสมาชิกในสับเซตนั้นซึ่ง\ (a+b)|ab$

$\ 5. กำหนดฟังก์ชัน\ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} โดยที่\ f(1)=1\ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้$
$(a)\ 5f(n)f(2n+1)=f(2n)(1+5f(n))$
$(b)\ f(2n)<10f(n)$
$จงหาชุดของ\ (a,b,c,d)\ ทั้งหมด โดยที่\ a>b>c>d\ ซึ่ง\ f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=2017$

$\ \ 6. กำหนด\ x,y,z\in \mathbb{R^+}\ โดยที่\ x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2zx\ และ\ xyz=\frac{1}{2} $
$จงหาค่า\ x+y+z\ ที่น้อยที่สุด\ พร้อมทั้งหาค่า\ x,y,z\ ที่ทำให้เกิดค่าน้อยที่สุด$