จัดรูปเงื่อนไขได้ว่า $x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2xy=4xy\rightarrow(x+y-z)^2=4xy$
WLOG $z$ เป็นตัวน้อยสุด จาก AM-GM ได้ว่า
$$\frac{x+y+z}{3}=\frac{\frac{x+y-z}{2}+\frac{x+y-z}{2}+2z}{3}\geq\sqrt[3]{\frac{(x+y-z)^2z}{2}} =\sqrt[3]{2xyz} $$
อสมการเป็นสมการเมื่อ $\frac{x+y-z}{2}=2z$ ใช้เงื่อนไขช่วยจะได้ $x:y:z=4:1:1$ หรือ $1:4:1$
[จริงๆ มีกรณีที่ $x:y:z=1:1:4$ ด้วย แต่ในที่นี้เราสมมติให้ $z$ ต่ำสุด]
แก้สมการจะได้ว่า $(x,y,z)=(2,0.5,0.5)$ หรือ Permutation ของมัน
__________________
I'm Back
14 เมษายน 2017 23:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
|