[Pitchayut]

5. สังเกตว่า $f(2n)(1+5f(n))=5f(n)f(2n+1)\implies 5f(n)\mid f(2n)$

แต่ $f(2n)<10f(n)$ จะได้ $f(2n)=5f(n)$ นั่นคือ $f(2n+1)=5f(n)+1$ ด้วย

ต่อมาให้ $n=(x_nx_{n-1}...x_1x_0)_{(2)}$ เป็นการเขียนในฐาน 2 จะได้ $f(n)=(x_nx_{n-1}...x_1x_0)_{(5)}$

ต่อไปจะนับจำนวนชุดของ $(a,b,c,d)$ ที่ $a>b>c>d$ และ $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=2017$

เรียก 4 สิ่งอันดับ $(a,b,c,d)$ ว่าดี ถ้า $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$

จาก $2017=(31032)_{(5)}$
โดยใช้ combi นิดหน่อย จะได้ว่ามีจำนวน 4 สิ่งอันดับดีอยู่ ${\binom{4}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{0}\binom{4}{3}\binom{4}{2}}=384$ ชุด

ต่อไปจะตัดกรณีที่มีสองตัวเท่ากันออก WLOG ไปก่อนว่า $a=b$

สังเกตว่า $a=b=(10011)_{(2)}$ หรือ $(10010)_{(2)}$ และ $a\ne c\ne d$ (พิสูจน์เอง)

Case 1 $a=b=(10011)_{(2)}$

จะได้ $f(c)+f(d)=(11010)_{(5)}$ ในกรณีนี้มี 4 สิ่งอันดับดีอยู่ $\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{0}=8$ ชุด

Case 2 $a=b=(10010)_{(2)}$

จะได้ $f(c)+f(d)=(11012)_{(5)}$ ในกรณีนี้มี 4 สิ่งอันดับดีอยู่ $\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{2}=8$ ชุด

ดังนั้น มีจำนวน 4 สิ่งอันดับดีที่ $a=b$ อยู่ $16$ ชุด

แต่ $a=b\implies a\ne c\ne d$ จะพบว่า แต่ละชุดสลับที่ได้ $6$ แบบ

จะพบว่ามี 4 สิ่งอันดับดีที่มีอย่างน้อย 2 ตัวเท่ากับอยู่ $96$ ชุด

ดังนั้น มี 4 สิ่งอันดับดีที่ทุกตัวต่างกันหมดอยู่ $384-96=288$ ชุด

ดังนั้น มี 4 สิ่งอันดับดีที่ $a>b>c>d$ อยู่ $288\div 24=12$ ชุด