[nooonuii]

ค่าต่ำสุดคือ $k=\sec\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$

นิยามลำดับของจำนวนจริง $k_1,k_2,...,k_{10}$ ดังนี้

$k_1=\dfrac{k}{2}$

$k_2=\sqrt{1-k_1^2}$

$k_3=\dfrac{k}{2k_2}$

$k_4=\sqrt{1-k_3^2}$

$k_5=\dfrac{k}{2k_4}$

$k_6=\sqrt{1-k_5^2}$

$k_7=\dfrac{k}{2k_6}$

$k_8=\sqrt{1-k_7^2}$

$k_9=\dfrac{k}{2k_8}$

$k_{10}=\sqrt{1-k_9^2}$

จะได้ว่าอสมการ

$\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2}{ab+bc+cd+de+ef+fg}\geq k$

สมมูลกับ

$(a-k_1b)^2+(k_2b-k_3c)^2+(k_4c-k_5d)^2+(k_6d-k_7e)^2+(k_8e-k_9f)^2+(k_{10}f-g)^2\geq 0$

ต่อไปนี้เป็น conjecture ที่ผมคาดว่าจะจริงแต่ยังพิสูจน์ไม่ได้ครับ

Conjecture ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก จะได้ว่า
$$
\dfrac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n}\geq\sec\left(\dfrac{\pi}{n+1}\right)
$$