ข้อ 3. จงหาคำตอบของสมการ \[
5\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right) = 6x + 8\sqrt {1 - x^2 }
\]
จาก \[
\sqrt {1 - x} ,\sqrt {1 + x}
\] และ \[
\sqrt {1 - x^2 }
\] จะได้ว่า \[
x \in \left[ { - 1,1} \right]
\]
ให้ \[
x = \cos \alpha
\] จะได้ว่า \[
\alpha \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]
\]
แทนค่าลงในสมการจะได้ \[
5\left( {\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } } \right) = 6\cos \alpha + 8\sqrt {1 - \cos ^2 \alpha }
\]
\[
\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } = \frac{{6\cos \alpha + 8\sin \alpha }}{5}
\]
\[
\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } = 2\left( {\frac{3}{5}\cos \alpha + \frac{4}{5}\sin \alpha } \right)
\]
ให้ \[
\cos \beta = \frac{3}{5}
\] จะได้ว่า \[
\beta \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]
\]
แทนค่าลงในสมการ จะได้ \[
\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } = 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)
\]
\[
\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } = 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)
\]
\[
1 - \cos \alpha + 2\sqrt {1 - \cos ^2 \alpha } + 1 + \cos \alpha = 4\cos ^2 \left( {\alpha - \beta } \right)
\]
\[
\sin \alpha = 2\cos ^2 \left( {\alpha - \beta } \right) - 1
\]
\[
\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \left( {2\left( {\alpha - \beta } \right)} \right)
\]
เนื่องจาก \[
\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]
\]และ\[
\left( {2\left( {\alpha - \beta } \right)} \right) \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]
\]
จะได้ \[
\frac{\pi }{2} - \alpha = 2\left( {\alpha - \beta } \right)
\]
หรือ\[
\frac{\pi }{2} - \alpha = - 2\left( {\alpha - \beta } \right)
\]
จะได้ \[
\alpha = \frac{\pi }{6} + \frac{{2\beta }}{3},2\beta - \frac{\pi }{2}
\]
\[
x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{2\beta }}{3}} \right),\cos \left( {2\beta - \frac{\pi }{2}} \right)
\]
ดังนั้น \[
x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{2}{3}\arccos \frac{3}{5}} \right),\frac{{24}}{{25}}
\]
ปล. โจทย์สนุกดีครับ
