โทดทีครับ ถ้าเฉลยช้า
ผมคิดว่ายังมีบางคนกำลังคิดอยู่ครับ
เฉลย ข้อ 63.
Solution ให้ $k\in\left\{1,2,3,...,n-1\right\}$ จากนั้น คูณ สมการ ที่ i ด้วย $\sin k\frac{i\pi}{n}$ ทั้งหมด n-1 สมการ แล้วจับสมการทั้งหมดบวกกัน จะได้ว่า
$$A_1x_1+A_2x_2+...+A_{n-1}x_{n-1} = a_1\sin k\frac{\pi}{n}+a_2\sin k\frac{2\pi}{n}+...+a_{n-1}\sin \frac{(n-1)\pi}{n}$$
และ
$$A_i = \sum_{m = 1}^{\ n-1} \sin i\frac{m\pi}{n}\sin k\frac{m\pi}{n}$$
และ เราจะได้ว่า $A_i = 0$ ถ้า $i\not= k$ และ $A_i = \frac{n}{2}$ ถ้า $i = k$
ดังนั้น $$x_k = \frac{2}{n} (a_1\sin k\frac{\pi}{n} + a_2\cos k\frac{2\pi}{n}+...+a_{n-1}\sin k\frac{(n-1)\pi}{n})$$ โดยที่ $k=1, 2, 3, ... ,n-1$
เฉลยข้อ 65
Solution ให้ $u = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}+1)i.}{4}$ และ $w = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)i.}{4}$ จะได้ว่า $z = \frac{u}{w}$
เนื่องจาก $u = \cos 54^{\circ} + i\sin 54^{\circ}$ และ $w = \cos 18^{\circ} + i\sin 18^{\circ}$
จึงได้ว่า u และ w เป็นรากที่ 20 ของ 1 ดังนั้น $z^{20}=(\frac{u}{w})^{20} = \frac{u^{20}}{w^{20}} = 1$
พิจารณา $2551^{2552}\equiv 1\pmod{5}$ และ $2007^{2008}\equiv 1\pmod{5} \Rightarrow 2551^{2552}-2007^{2008}\equiv 0\pmod{5}$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ $2551^{2552}-2007^{2008}\equiv 0\pmod{4}$
ดังนั้น $2551^{2552}-2007^{2008}\equiv 0\pmod{20}$
$$\frac{z^{2551^{2552}}}{z^{2007^{2008}}} = z^{2551^{2552}-2007^{2008}} = z^{20k} = 1^k = 1$$
