group สอง group isomorphic กันหมายความว่า ทั้งสอง group จะมีโครงสร้างของ binary operation เหมือนกัน
การจะดูว่าสอง group ไม่ isomorphic กันไม่มีวิธีการที่แน่นอน แต่สามารถใช้ความจริงอันนี้
ตรวจสอบคุณสมบัติบางอย่างที่สามารถส่งผ่านโดย isomorphism ได้ ว่าทั้งสอง group จะมีเหมือนกันหรือไม่
ถ้า group นึงมีคุณสมบัติหนึ่ง แต่อีก group หนึ่งไม่มี ก็แสดงว่าสอง group นั้นไม่ isomorphic กัน
ตัวอย่าง $\mathbb{Z}_4$ กับ $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ มีขนาด $4$ เหมือนกัน
แต่ไม่ isomorphic กัน คุณสมบัติที่นำมาใช้ตรวจสอบคือ order ของสมาชิก
$\mathbb{Z}_4$ มีสมาชิกที่มีขนาด $4$ ถึงสามตัว
แต่ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ มีแค่สมาชิกขนาด $2$ สามตัว
แค่ใช้ order ของสมาชิกนี่ก็ตรวจสอบได้เยอะทีเดียว แต่อาจจะใช้ไม่ได้กับ infinite group
อีกคุณสมบัติที่ใช้กันบ่อยคือ คุณสมบัติการสลับที่ของสมาชิก
ตัวอย่าง $\mathbb{Z}_6$ กับ $S_3$ ตัวแรก เป็น abelian group แต่อีกตัวไม่เป็น
ฝากให้คิด $(\mathbb{Q},+)$ กับ $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},+)$ isomorphic กันหรือไม่
|