[tngngoapm]

ระเบียบวิธีที่1
กำหนดให้ $P_{n}(x),Q_{n}(x),S_{n}(x),R_{n}(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 $(n\in จำนวนนับ)$

$$ \sharp \sharp\sharp ถ้า.... P_{1}(x) หารด้วย S_{1}(x).... แล้วเหลือเศษ...R_{1}(x)... และ... S_{2}(x) เป็นพหุนามย่อยของ S_{1}(x).... แล้ว$$$$พหุนาม .....P_{1}(x) หารด้วย S_{2}(x).... จะเหลือเศษเท่ากับ เศษที่ได้จากการหาร ....R_{1}(x) ด้วย S_{2}(x)....ด้วย\sharp \sharp\sharp $$

นิยาม
พหุนามเทียบเท่า
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามเทียบเท่ากับ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)$=ดีกรีของ $P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เท่ากับ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$2x-1$ เทียบเท่ากับพหุนาม $4x-2$ เป็นต้น (ซึ่งพหุนามที่เทียบเท่ากับ $4x-2$ จะมีเป็นจำนวนอนันต์พหุนาม แต่ทั้งหมดนี้รวมเรียกว่าเป็น 1 ชุด)

พหุนามย่อย
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามย่อยของ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)\leqslant ดีกรีของ P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เป็นสับเซตของ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$x-1$ เป็นพหุนามย่อยของ $x^{2}-2x+1$ เป็นต้น(พหุนามย่อยของ$x^{2}-2x+1$มี 2 ชุด คือ $x-1 และ x^{2}-2x+1$)

$Problem2........x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^4+x^3+x^2+x+1 เหลือเศษ?$
วิธีทำ
$x^5 \equiv 1 \pmod {x^5-1}$
$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} \equiv 1+x+x^2+x^3+x^4 \pmod {x^5-1}$
$\therefore x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^5-1 เหลือเศษx^4+x^3+x^2+x+1$
และได้ว่า $\therefore x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^4+x^3+x^2+x+1 ลงตัว...... $
$เพราะ... x^4+x^3+x^2+x+1...เป็นพหุนามย่อยของ...x^5-1...[x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1 )]$
$และหาร...x^4+x^3+x^2+x+1...ลงตัว$

นอกจากนี้ เรายังสามารถหาเศษจากการหาร$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วยพหุนามย่อยของ $x^5-1$ ตัวอื่นๆได้โดยง่ายเช่น.......
$x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ เป็นพหุนามย่อยหนึ่งของ $x^5-1$ .......$[x^5-1=(x-1)(x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1)(x^2+(\frac{1-\sqrt{5} }{2} )x+1)]$
......เศษจากการหาร$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วย$x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ หาจากนำ $x^4+x^3+x^2+x+1 $ หารด้วย $x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ โดยวิธีหารยาวก็ได้จะได้ว่าหารลงตัว.......ไม่เหลือเศษเหมือนกัน