อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~
2. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนนับ และ $n\geqslant 2$ จงแสดงว่า
$$n((n+1)^{\frac{1}{n}}-1)\leqslant 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\leqslant n-(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}$$
|
$n((n+1)^{\frac{1}{n}}-1)\leqslant 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$
$n(n+1)^{\frac{1}{n}}\leq (1+1)+(1+\frac{1}{2})+\cdots + (1+\frac{1}{n})$
$n(n+1)^{\frac{1}{n}}\leq 2+\frac{3}{2}+\cdots + \frac{n+1}{n}$
Apply AM-GM inequality directly.
$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\leqslant n-(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}$
$(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}\leq (1-1)+(1-\frac{1}{2})+\cdots+(1-\frac{1}{n})$
$(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}\leq \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdots+\frac{n-1}{n}$
Apply AM-GM inequality directly.