เอาไปทำเล่นสนุกๆ ครับ เผื่อมีคนบอกว่าวันแรกยังไม่ยากพอ
Day 1 Hell's Edition
1. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $BC, CA, AB$ ที่จุด $D, E, F$
ให้ $P, Q$ เป็นจุดกึ่งกลาง $DF, DE$
ให้ $PC$ ตัด $DE$ ที่จุด $R$ , $BQ$ ตัด $DF$ ที่จุด $S$ และ $PC$ ตัด $BQ$ ที่จุด $X$.
(ก) จงแสดงว่า $P, Q, R, S$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน
(ข) จงแสดงว่า วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $PQX$ สัมผัสกับวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$
2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้
$$f(x+f(y)) = f(x) + y^{2.018}$$
สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ และ $y>0$ .
3. แม่หญิงกาลกิณีแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกวิดิโอลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ $1,\sqrt[3]{2} ,\sqrt[3]{2^2},2,\sqrt[3]{2^4} $ และ $\sqrt[3]{2^5} $ GB ชนิดละ $3$ แท่ง ให้บ่าว $6$ คน คนละ $3$ แท่ง
โดยแต่ละคนได้รับแฟลขไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าของวิดิโอเพื่อเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ
จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น
หรือผลบวกความจุแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด
4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ากับ $0$ ซึ่ง $a+b+c=0$ จงหาค่ามากสุดของ
$$(1+\frac{a^3}{b^3})(1+\frac{b^3}{c^3})(1+\frac{c^3}{a^3})$$
5. จงหาค่าน้อยสุดของ $a+b$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $2018$ ไม่ลงตัว แต่ $a^5+b^5$ หารด้วย $2018^{2018}$ ลงตัว
ไม่ได้เรียงยาก-ง่ายนะครับ ผมกับเพื่อนผม(จิรายุส)เป็นคนดัดแปลงโจทย์พวกนี้ครับๆ