อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX
11. จงหาค่าของ
$$(\frac{2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+...+2^{-2000}}{2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}-2^{-4}+...-2^{-2000}})^2 +(\frac{3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+3^{-4}+...+3^{-3000}}{3^{-1}-3^{-2}+3^{-3}-3^{-4}+...-3^{-3000}})^3$$
|
$2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+...+2^{-2000} = 2^{-1} (1 + 2^{-1}) + 2^{-3} (1 + 2^{-1}) + ... + 2^{-2009} (1 + 2^{-1})$
$= (1 + 2^{-1}) (2^{-1} + 2^{-3} + ... + 2^{-2009})$
$2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}-2^{-4}+...-2^{-2000} = 2^{-1} (1 - 2^{-1}) + 2^{-3} (1 - 2^{-1}) + ... + 2^{-2009} (1 - 2^{-1})$
$= (1 - 2^{-1}) (2^{-1} + 2^{-3} + ... + 2^{-2009})$
$\therefore$ $\frac{2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+...+2^{-2000}}{2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}-2^{-4}+...-2^{-2000}} = \frac{(1 + 2^{-1}) (2^{-1} + 2^{-3} + ... + 2^{-2009})}{(1 - 2^{-1}) (2^{-1} + 2^{-3} + ... + 2^{-2009})}$
$= \frac{1 + 2^{-1}}{1 - 2^{-1}}$
ในทำนองเดียวกัน
$(\frac{3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+3^{-4}+...+3^{-3000}}{3^{-1}-3^{-2}+3^{-3}-3^{-4}+...-3^{-3000}}) = \frac{1 + 3^{-1}}{1 - 3^{-1}}$
$\therefore$ $(\frac{2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+...+2^{-2000}}{2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}-2^{-4}+...-2^{-2000}})^2 +(\frac{3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+3^{-4}+...+3^{-3000}}{3^{-1}-3^{-2}+3^{-3}-3^{-4}+...-3^{-3000}})^3$ = $(\frac{1 + 2^{-1}}{1 - 2^{-1}})^2$ + $(\frac{1 + 3^{-1}}{1 - 3^{-1}})^3$
$= 3^2 \times 2^3$
$= 17$