[Beatmania]

# 15 วิธีคุณสวยกว่าครับ แหะๆ วิธีผมมันยาวไปหน่อย - -"

สำหรับ $x,y,\in\mathbb{R}$ ให้ $P(x,y):=f(f(x)+2y)=6x+f(f(y)-x)$

$P(x,-\frac{f(x)}{2}):=f(0)=6x+f(f(\frac{-f(x)}{2})-x)$

$f(g(x))=-6x+f(0)$ โดย $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ โดย $g(x)=f(\frac{-f(x)}{2})-x$

เนื่องจาก $h(x)=-6x+f(0)$ เป็นฟังก์ชั่นทั่วถึง

ดังนั้น ทุกๆ จำนวนจริง $y$ จะมีจำนวนจริง $a_y$ ที่ทำให้ $h(a_y)=y$ และเนื่องจาก $f(g(x))=h(x)$

ทำให้ได้ว่าทุกๆ จำนวนจริง $y$จะมีจำนวนจริง $g_y=g(a_y)$ ที่ทำให้ $f(g_y)=y$

ได้ว่า f onto

$P(0,y):=f(f(y))=f(2y+c)$ โดย $c=f(0)$

$P(x,f(y)):=f(f(x)+2f(y))=6x+f(f(f(y))-x)=6x+f(f(2y+c)-x)$

$P(x,2y+c):=f(f(x)+2(2y+c))==6x+f(f(2y+c)-x)$

$f(f(x)+2f(y))=f(f(x)+2(2y+c))$ เนื่องจากเป็นฟังก์ชั่นทั่วถึง จะได้ว่า $f(x+2f(y))=f(x+2(2y+c))$

ให้ $Q(x,y):=f(x+2f(y))=f(x+2(2y+c))$

ต่อไปจะแสดงว่าถ้า $x_0\in\mathbb{R},f(x_0)=c$ แล้ว $x_0=0$

สมมติว่ามีจำนวนจริง $x_0\neq 0$ ที่ทำให้ $f(x_0)=c$

$Q(x-2c,x_0):=f(x)=f(x+4x_0)$

$P(x+4x_0,y):=f(f(x+4x_0)+2y)=6x+24x_0+f(f(y)-x-4x_0)$

$f(f(x)+2y)=6x+24x_0+f(f(y)-x)$ เมื่อพิจารณากับเงื่อนไขเดิม

ทำให้ได้ว่า $x_0=0$ ขัดแย้งกับที่สมมติว่า $x_0\neq 0$

ดังนั้น ถ้า $f(x_0)=c\rightarrow x_0=0$

$Q(-2(2y+c),y):= c=f(0)=f(2[f(y)-2y-c])$

จากที่พิสูจน์ไว่ก่อนหน้านี้ ทำให้ได้ว่า $2[f(y)-2y-c]=0$ หรือก็คือ $\forall y\in\mathbb{R},f(y)=2y+c $ #