ผมฝึกทำอยู่ครับ เตรียมตัวจะไปเข้าค่าย ซึ่งผมพบอย่างหนึ่งก็คือ ข้อ 5 ทีมปี 2007 ผมตั้งสมการแล้วพิสูจน์ได้ว่ามีทั้งหมด 8 จำนวนที่เป็นไปได้คือ
1353, 1947, 2343, 2937, 3729, 4323, 4719 และ 5313
แต่ที่คุณ gon เฉลยเอาไว้มีแค่ 2 จำนวนคือตัวแรกกับตัวสุดท้ายครับ ส่วนโจทย์และการพิสูจน์สามารถทำได้ดังนี้ครับ
โจทย์ จงหาจำนวนสี่หลักที่เกิดจากการนำจำนวนเฉพาะสองหลักสองตัวที่ต่างกันมาประกบคู่กัน (เช่น 13 กับ 17 ประกบคู่เป็น 1317) และจำนวนนั้นจะต้องหารด้วยค่าเฉลี่ยของจำนวนเฉพาะสองตัวที่นำมาประกบคู่นั้นลงตัวด้วย
ให้จำนวนเฉพาะ 2 ตัวที่นำมาประกบคู่เป็น $a$ และ $b$ จะได้ว่าจำนวนสี่หลักดังกล่าวคือ $100a+b$
จากโจทย์ จะได้ว่า $\dfrac{a+b}{2}\mid 100a+b$
ดังนั้น $\dfrac{a+b}{2}\mid 200a+2b$
นั่นคือ $a+b\mid 200a+2b-2(a+b)$ ซึ่งหมายความว่า $a+b\mid 198a$
ให้ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $198a=k(a+b)$
ดังนั้น $\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{198}{k}$
เนื่องจาก $\dfrac{a+b}{a}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เพราะถ้า $\gcd (a+b, a)\ne 1$ จากการตั้งหารยูคลิด เราจะพบว่า $\gcd (a, b)$ ต้องไม่เท่ากับ 1 ด้วย ซึ่งเป็นไปไม่ได้)
ดังนั้นจะได้ว่า $a+b\mid 198$
นั่นคือ $a+b$ ต้องเป็นตัวประกอบของ 198 ซึ่งมีทั้งหมด 12 จำนวนดังนี้
1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198
เนื่องจากผลรวมของจำนวนเฉพาะสองหลักสองตัวจะมีค่ามากกว่า 11+11=22 และมีค่าไม่เกิน 97+97=194 นอกจากนั้นยังต้องเป็นจำนวนคู่อีกด้วย จึงเหลือจำนวนที่เป็นไปได้คือ 66 เท่านั้น
ดังนั้น การหาค่าของ a และ b จึงเหลือแค่การหาจำนวนเฉพาะสองตัวที่รวมกันได้ 66 ซึ่งมีทั้งหมด 8 คู่ ดังนี้
(13, 53) (19, 47) (23, 43) (29, 37) (37, 29) (43, 23) (47, 19) และ (53, 13)
จึงสรุปได้ว่า มีจำนวนที่สอดคล้องเพียง 8 จำนวนเท่านั้น คือ
1353, 1947, 2343, 2937, 3729, 4323, 4719 และ 5313